高斯-切比雪夫求积公式的构造与多项式精度分析
题目描述
高斯-切比雪夫求积公式是用于计算形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的积分的一种数值方法，其中权重函数为 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\)。该公式的节点是切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的零点，权重为常数。要求分析其构造过程，并证明该公式具有最高代数精度 \(2n-1\)。
解题过程
- 公式的基本形式
高斯-切比雪夫求积公式的 \(n\) 点形式为：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k), \]
其中节点 \(x_k\) 是 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点：
\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n, \]
权重 \(w_k = \pi / n\) 为常数。
- 构造思路
- 正交多项式基础：切比雪夫多项式 \(\{T_n(x)\}\) 在区间 \([-1,1]\) 上关于权重函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 正交，即：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi/2 & m=n \neq 0, \\ \pi & m=n=0. \end{cases} \]
- 节点选择：高斯型求积公式要求节点为正交多项式（此处为 \(T_n(x)\)）的零点，以确保最高精度。
- 权重计算
由于权重 \(w_k\) 需满足公式对低次多项式精确成立，考虑用拉格朗日插值法推导。对常数函数 \(f(x)=1\)，公式需精确：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi = \sum_{k=1}^{n} w_k \cdot 1. \]
由对称性，所有 \(w_k\) 相等，故 \(w_k = \pi / n\)。
- 多项式精度证明
- 目标：证明公式对任意次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式精确成立。
- 关键步骤：
- 设 \(P(x)\) 为次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式。
- 将 \(P(x)\) 除以 \(T_n(x)\)（次数为 \(n\)），得到商 \(Q(x)\) 和余项 \(R(x)\)：
\[ P(x) = Q(x) T_n(x) + R(x), \]
其中 $ Q(x) $ 和 $ R(x) $ 次数均 $ \leq n-1 $。
3. 积分误差分析：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{P(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{Q(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int_{-1}^{1} \frac{R(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx. \]
由于 $ T_n(x) $ 与所有次数 $ \leq n-1 $ 的多项式正交，第一项积分为零。
4. 数值公式部分：
\[ \sum_{k=1}^{n} w_k P(x_k) = \sum_{k=1}^{n} w_k [Q(x_k) T_n(x_k) + R(x_k)] = \sum_{k=1}^{n} w_k R(x_k), \]
因为 $ T_n(x_k)=0 $。
5. 由于 $ R(x) $ 次数 $ \leq n-1 $，而 $ n $ 点高斯公式对次数 $ \leq n-1 $ 的多项式精确（由构造保证），故：
\[ \int_{-1}^{1} \frac{R(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sum_{k=1}^{n} w_k R(x_k). \]
6. 因此积分值与数值结果相等，公式对 $ P(x) $ 精确。
- 结论
高斯-切比雪夫公式利用切比雪夫多项式的正交性和零点性质，达到最高代数精度 \(2n-1\)，且权重计算简单，适用于振荡函数或特定权重函数的积分。