非线性规划中的自适应惩罚函数法基础题
字数 2364 2025-10-29 21:04:31

非线性规划中的自适应惩罚函数法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件为：
\(g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
初始点为 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，该点不满足约束（\(g_1(0,0) = -2 \leq 0\) 成立，但 \(g_2(0,0) = 0 \leq 0\) 成立，实际是可行点？需验证：\(g_1(0,0)=-2 \leq 0\)，\(g_2(0,0)=0 \leq 0\)，故可行。但为练习，我们仍从该点开始）。
要求使用自适应惩罚函数法，通过调整惩罚权重逐步逼近最优解。

解题过程

1. 方法原理
自适应惩罚函数法将约束问题转化为一系列无约束子问题。惩罚函数形式为：

\[ P(x, \mu) = f(x) + \mu \sum_{i=1}^m \max(0, g_i(x))^2 \]

其中 \(\mu > 0\) 是惩罚权重。自适应策略：初始权重 \(\mu_0\) 较小，每次求解子问题后，若约束违反度未降到容差内，则增大 \(\mu\)（如 \(\mu_{k+1} = 10\mu_k\)），重新求解。

2. 第一步（\(k=0\)，\(\mu_0 = 1\))

  • 惩罚函数：

\[ P(x, 1) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 + 1 \cdot \left[ \max(0, x_1 + x_2 - 2)^2 + \max(0, x_1^2 - x_2)^2 \right] \]

在 \(x^{(0)} = (0,0)\)：

  • 约束违反度：\(g_1 = -2 \leq 0\)，\(g_2 = 0 \leq 0\)，无违反，惩罚项为 0。

  • 但需优化 \(P(x,1)\)：从 \(x^{(0)}\) 开始，用梯度下降法（或解析求导）。

  • 梯度计算：
    \(\nabla f = [2(x_1-2), 2(x_2-1)]\)，
    惩罚项梯度需分情况：

    • 若 \(g_1 > 0\)，贡献 \(2\mu (x_1+x_2-2) \cdot [1, 1]\)；若 \(g_2 > 0\)，贡献 \(2\mu (x_1^2 - x_2) \cdot [2x_1, -1]\)。
      在可行域内（如 \(x^{(0)}\)），惩罚项梯度为 0，故 \(\nabla P = \nabla f = [-4, -2]\)。

  • 迭代：沿负梯度方向搜索。设步长 \(\alpha = 0.1\)：
    \(x^{(1)} = (0,0) - 0.1 \cdot [-4, -2] = (0.4, 0.2)\)。
    检查可行性：\(g_1 = 0.4+0.2-2 = -1.4 \leq 0\)，\(g_2 = 0.16 - 0.2 = -0.04 \leq 0\)，仍可行。
    继续优化至收敛（如梯度模小于 \(10^{-3}\)），得 \(x^{(1)}_{opt} \approx (2,1)\)（无约束最优解，但需验证可行性）。

3. 第二步（\(k=1\)，\(\mu_1 = 10\))

  • 在 \(x^{(1)}_{opt} = (2,1)\)：
    \(g_1 = 2+1-2 = 1 > 0\)（违反！），\(g_2 = 4-1=3 > 0\)（违反！）。
    惩罚函数变为：

\[ P(x,10) = f(x) + 10 \left[ (x_1+x_2-2)^2 + (x_1^2 - x_2)^2 \right] \]

  • 梯度计算：
    \(\nabla P = \nabla f + 20(x_1+x_2-2) \cdot [1,1] + 20(x_1^2 - x_2) \cdot [2x_1, -1]\)。
    在 \((2,1)\)：\(\nabla f = (0,0)\)，惩罚梯度为 \(20(1) \cdot [1,1] + 20(3) \cdot [4, -1] = [20+240, 20-60] = [260, -40]\)。
    梯度不为零，需重新优化。从 \((2,1)\) 开始梯度下降，步长需小（如 0.001）：
    \(x^{(2)} = (2,1) - 0.001 \cdot [260, -40] = (1.74, 1.04)\)。
    重复迭代至收敛（如到 \(x^* \approx (1.0, 1.0)\)），此时 \(g_1 = 0\)，\(g_2 = 0\)，约束满足。

4. 收敛判断
在 \(x^* = (1,1)\)：

  • 目标函数值 \(f = (1-2)^2 + (1-1)^2 = 1\)
  • 约束违反度为 0，且 \(\mu\) 已足够大（\(\mu=10\) 时惩罚项主导，迫使解可行）。
    实际需多次调整 \(\mu\) 直至解稳定。最终最优解为 \((1,1)\)，对应 \(f=1\)。

5. 结论
自适应惩罚函数法通过逐步增大惩罚权重，将不可行点拉回可行域。本例中，从无约束最优解 \((2,1)\)（不可行）调整至可行最优解 \((1,1)\)，体现了惩罚项对约束的处理作用。

非线性规划中的自适应惩罚函数法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，该点不满足约束（\( g_ 1(0,0) = -2 \leq 0 \) 成立，但 \( g_ 2(0,0) = 0 \leq 0 \) 成立，实际是可行点？需验证：\( g_ 1(0,0)=-2 \leq 0 \)，\( g_ 2(0,0)=0 \leq 0 \)，故可行。但为练习，我们仍从该点开始）。 要求使用自适应惩罚函数法，通过调整惩罚权重逐步逼近最优解。 解题过程 1. 方法原理 自适应惩罚函数法将约束问题转化为一系列无约束子问题。惩罚函数形式为： \[ P(x, \mu) = f(x) + \mu \sum_ {i=1}^m \max(0, g_ i(x))^2 \] 其中 \( \mu > 0 \) 是惩罚权重。自适应策略：初始权重 \( \mu_ 0 \) 较小，每次求解子问题后，若约束违反度未降到容差内，则增大 \( \mu \)（如 \( \mu_ {k+1} = 10\mu_ k \)），重新求解。 2. 第一步（\( k=0 \)，\( \mu_ 0 = 1 \)) 惩罚函数： \[ P(x, 1) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 + 1 \cdot \left[ \max(0, x_ 1 + x_ 2 - 2)^2 + \max(0, x_ 1^2 - x_ 2)^2 \right ] \] 在 \( x^{(0)} = (0,0) \)： 约束违反度：\( g_ 1 = -2 \leq 0 \)，\( g_ 2 = 0 \leq 0 \)，无违反，惩罚项为 0。 但需优化 \( P(x,1) \)：从 \( x^{(0)} \) 开始，用梯度下降法（或解析求导）。 梯度计算： \( \nabla f = [ 2(x_ 1-2), 2(x_ 2-1) ] \)， 惩罚项梯度需分情况： 若 \( g_ 1 > 0 \)，贡献 \( 2\mu (x_ 1+x_ 2-2) \cdot [ 1, 1] \)；若 \( g_ 2 > 0 \)，贡献 \( 2\mu (x_ 1^2 - x_ 2) \cdot [ 2x_ 1, -1 ] \)。 在可行域内（如 \( x^{(0)} \)），惩罚项梯度为 0，故 \( \nabla P = \nabla f = [ -4, -2 ] \)。 迭代：沿负梯度方向搜索。设步长 \( \alpha = 0.1 \)： \( x^{(1)} = (0,0) - 0.1 \cdot [ -4, -2 ] = (0.4, 0.2) \)。 检查可行性：\( g_ 1 = 0.4+0.2-2 = -1.4 \leq 0 \)，\( g_ 2 = 0.16 - 0.2 = -0.04 \leq 0 \)，仍可行。 继续优化至收敛（如梯度模小于 \( 10^{-3} \)），得 \( x^{(1)}_ {opt} \approx (2,1) \)（无约束最优解，但需验证可行性）。 3. 第二步（\( k=1 \)，\( \mu_ 1 = 10 \)) 在 \( x^{(1)}_ {opt} = (2,1) \)： \( g_ 1 = 2+1-2 = 1 > 0 \)（违反！），\( g_ 2 = 4-1=3 > 0 \)（违反！）。 惩罚函数变为： \[ P(x,10) = f(x) + 10 \left[ (x_ 1+x_ 2-2)^2 + (x_ 1^2 - x_ 2)^2 \right ] \] 梯度计算： \( \nabla P = \nabla f + 20(x_ 1+x_ 2-2) \cdot [ 1,1] + 20(x_ 1^2 - x_ 2) \cdot [ 2x_ 1, -1 ] \)。 在 \( (2,1) \)：\( \nabla f = (0,0) \)，惩罚梯度为 \( 20(1) \cdot [ 1,1] + 20(3) \cdot [ 4, -1] = [ 20+240, 20-60] = [ 260, -40 ] \)。 梯度不为零，需重新优化。从 \( (2,1) \) 开始梯度下降，步长需小（如 0.001）： \( x^{(2)} = (2,1) - 0.001 \cdot [ 260, -40 ] = (1.74, 1.04) \)。 重复迭代至收敛（如到 \( x^* \approx (1.0, 1.0) \)），此时 \( g_ 1 = 0 \)，\( g_ 2 = 0 \)，约束满足。 4. 收敛判断 在 \( x^* = (1,1) \)： 目标函数值 \( f = (1-2)^2 + (1-1)^2 = 1 \) 约束违反度为 0，且 \( \mu \) 已足够大（\( \mu=10 \) 时惩罚项主导，迫使解可行）。 实际需多次调整 \( \mu \) 直至解稳定。最终最优解为 \( (1,1) \)，对应 \( f=1 \)。 5. 结论 自适应惩罚函数法通过逐步增大惩罚权重，将不可行点拉回可行域。本例中，从无约束最优解 \( (2,1) \)（不可行）调整至可行最优解 \( (1,1) \)，体现了惩罚项对约束的处理作用。