列生成算法在电力系统经济调度问题中的应用示例 题目描述 考虑一个电力系统经济调度问题：某地区有3个发电机组需要满足未来4个小时的电力需求。每个机组有特定的发电成本函数、最小和最大出力限制，以及爬坡率约束（即相邻时段出力变化限制）。目标是在满足需求的同时最小化总发电成本。 问题参数 时段集合：T = {1, 2, 3, 4} 机组集合：I = {1, 2, 3} 需求：D₁=150MW, D₂=200MW, D₃=180MW, D₄=170MW 机组i的最小/最大出力：P_ min₁=20MW, P_ max₁=100MW; P_ min₂=30MW, P_ max₂=120MW; P_ min₃=25MW, P_ max₃=110MW 成本函数：C_ i(P_ it) = a_ i + b_ iP_ it + c_ iP_ it²（二次函数，可分段线性化） 爬坡率：ΔP_ max=40MW/小时 列生成算法求解过程 步骤1：主问题与子问题分解 将原问题分解为： 主问题（Master Problem）：协调各时段的发电计划，确保满足需求 子问题（Pricing Problem）：为每个机组生成新的发电计划（列） 步骤2：主问题建模 主问题初始仅包含简单发电方案（如最小出力方案）。设x_ {itk}为决策变量，表示机组i在时段t采用第k个方案时的出力。主问题形式为： Minimize ΣΣΣ C_ {itk} x_ {itk} Subject to: 需求约束：Σ_ i Σ_ k x_ {itk} ≥ D_ t, ∀t ∈ T 凸组合约束：Σ_ k λ_ {ik} = 1, ∀i ∈ I（保证方案可行性） 非负约束：x_ {itk} ≥ 0 步骤3：初始化限制主问题 开始时为每个机组生成一个初始可行列（如最小出力方案）。此时主问题规模较小，可快速求解得到对偶变量值。 步骤4：子问题构建与求解 对每个机组i，构建子问题： Minimize [ C_ i(P_ it) - Σ_ t π_ t P_ it ] Subject to: P_ min_ i ≤ P_ it ≤ P_ max_ i, ∀t ∈ T |P_ i(t+1) - P_ it| ≤ ΔP_ max, ∀t < 4 其中π_ t是主问题需求约束的对偶变量。该问题求解目标是寻找减少成本最多的新发电计划。 步骤5：列生成迭代 求解当前限制主问题，得到对偶变量π_ t 对每个机组i，求解子问题： 若子问题目标值 <0（检验数为负），则生成新列加入主问题 否则该机组无改进列 当所有机组子问题目标值≥0时，当前解已是最优 步骤6：收敛判断 当所有子问题的最小检验数（目标值）均非负时，算法终止。此时已找到原问题的最优解（或证明无法通过增加列改进解）。 算法特点 有效处理多时段耦合约束（如爬坡率） 通过动态生成列避免枚举所有可能方案 特别适合机组数量多、时段数大的调度问题 通过以上步骤，列生成算法能够高效解决电力系统经济调度这一复杂优化问题。