双步隐式位移QR算法计算复矩阵特征值 题目描述 双步隐式位移QR算法是计算一般复矩阵特征值的高效数值方法。它通过将矩阵转化为上Hessenberg形式，并应用带双重位移的QR迭代，避免直接处理复数运算，同时保持算法的数值稳定性。该算法特别适用于求解中型到大型复矩阵的全部特征值。 解题过程 预处理：转化矩阵为上Hessenberg形式 目标：将原复矩阵 \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) 通过相似变换转化为上Hessenberg矩阵 \( H \)（即次对角线以下元素全为零）。 方法：使用Householder变换（或Givens旋转）逐步消去每列下方的非零元素。例如，对第 \( k \) 列，选取变换矩阵 \( P_ k \) 使得 \( P_ k A P_ k^{-1} \) 的第 \( k \) 列下方元素归零。 结果：得到 \( H = Q^* A Q \)，其中 \( Q \) 为酉矩阵，\( H \) 保留 \( A \) 的特征值。 双重位移的隐式应用 位移选取 ：从 \( H \) 的右下角 \( 2 \times 2 \) 子矩阵 \( \begin{bmatrix} h_ {n-1,n-1} & h_ {n-1,n} \\ h_ {n,n-1} & h_ {n,n} \end{bmatrix} \) 计算两个特征值 \( \sigma_ 1, \sigma_ 2 \) 作为位移。这两个位移可能是复数，但算法通过隐式技巧避免显式复数运算。 隐式步骤 ： 计算向量 \( v = (H - \sigma_ 1 I)(H - \sigma_ 2 I)e_ 1 \)（其中 \( e_ 1 \) 为单位向量），仅需计算前三个非零分量，因为 \( H \) 是上Hessenberg矩阵。 构造Householder变换 \( P_ 0 \) 使得 \( P_ 0 v \) 与 \( e_ 1 \) 平行，并将 \( P_ 0 \) 应用于 \( H \)：\( H \leftarrow P_ 0 H P_ 0^* \)。这一步会引入一个“凸起”（bulge），破坏上Hessenberg结构。 ** bulge的追逐（Bulge Chasing）** 目标：通过一系列相似变换将 bulge 沿对角线向下推移，最终恢复上Hessenberg形式。 过程： 对每个位置 \( k = 1, 2, \dots, n-2 \)： 构造Householder变换 \( P_ k \) 或Givens旋转，消去 bulge 在列 \( k \) 中的非零元素。 从左侧应用 \( P_ k \) 到 \( H \) 的行 \( k:k+2 \)，从右侧应用 \( P_ k^* \) 到 \( H \) 的列 \( k:k+2 \)。 每一步将 bulge 向下移动一行，直到它从矩阵底部消失。 结果：得到新的上Hessenberg矩阵 \( \tilde{H} \)，完成一次隐式QR迭代。 收敛判断与迭代终止 检查 \( \tilde{H} \) 的次对角线元素：若 \( |h_ {i+1,i}| < \epsilon \)（\(\epsilon\) 为容忍值，如 \( \epsilon = 10^{-15} \)），则认定 \( h_ {ii} \) 为特征值。 对未收敛的子矩阵递归应用双步隐式位移QR迭代，直到所有特征值被提取。 后处理：特征值提取 最终上Hessenberg矩阵的对角块（\( 1 \times 1 \) 或 \( 2 \times 2 \)）的特征值即为原矩阵 \( A \) 的特征值。 若需特征向量，可通过累积变换矩阵 \( Q \) 并回代求解。 关键点 隐式位移避免复数运算，提升数值稳定性。 bulge chasing 通过局部相似变换保持效率，避免显式QR分解。 算法复杂度为 \( O(n^3) \)，适用于中型矩阵。