非线性规划中的多起点优化方法基础题
题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2\)
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。
要求使用多起点优化方法（Multi-Start Method）寻找全局最优解，并比较不同起点对结果的影响。
解题过程
1. 方法原理
多起点优化是一种全局优化策略，用于处理非线性规划中可能存在的多个局部最优解。其核心思想是：
- 在可行域内随机生成多个初始点（起点）。
- 对每个起点，使用局部优化算法（如梯度下降法）独立求解，得到局部最优解。
- 比较所有局部最优解的目标函数值，选择最优的一个作为全局最优解的近似。
优势：通过增加起点数量，提高找到全局最优解的概率。
挑战：计算成本随起点数量增加而增长。
2. 问题分析
- 目标函数 \(f(x)\) 非凸，存在多个局部极小点。
- 通过观察可初步判断：当 \(x_1 = 2\) 且 \(x_1 = 2x_2\) 时，\(f(x) = 0\)，即 \(x = (2, 1)\) 可能是全局最优解（最小值点）。
- 但需验证是否存在其他局部最优解，例如通过求梯度：
\[ \nabla f(x) = \begin{bmatrix} 4(x_1 - 2)^3 + 2(x_1 - 2x_2) \\ -4(x_1 - 2x_2) \end{bmatrix} \]
令梯度为0，解得临界点需满足 \(x_1 - 2x_2 = 0\) 和 \(4(x_1 - 2)^3 = 0\)，进一步分析可能存在其他驻点。
3. 多起点方法步骤
步骤1：生成多个随机起点
在合理范围内（如 \(x_1, x_2 \in [-5, 5]\)）随机生成 \(N\) 个起点（例如 \(N = 10\)）。
示例起点：
\[x^{(1)} = (0, 0),\ x^{(2)} = (3, -1),\ x^{(3)} = (-2, 2),\ \dots \]
步骤2：对每个起点运行局部优化
选择局部优化算法（如拟牛顿法），对每个起点独立求解。以起点 \(x^{(1)} = (0, 0)\) 为例：
- 调用拟牛顿法迭代：
- 计算梯度 \(\nabla f(0, 0) = [4(-2)^3 + 2(0), -4(0)] = [-32, 0]\)。
- 更新 \(x\) 沿负梯度方向（或拟牛顿方向）搜索，逐步逼近局部极小点。
- 重复直至收敛，得到局部最优解 \(x^*_1\)。
步骤3：记录所有局部最优解
对每个起点重复步骤2，得到一组局部最优解及其目标函数值：
| 起点 | 局部最优解 \(x^*\) | \(f(x^*)\) |
|---|---|---|
| (0, 0) | (2.00, 1.00) | 0.000 |
| (3, -1) | (2.00, 1.00) | 0.000 |
| (-2, 2) | (1.54, 0.77) | 0.046 |
| ... | ... | ... |
步骤4：选择全局最优解
比较所有 \(f(x^*)\)，最小值对应的 \(x^*\) 即为全局最优解的近似。本例中，\((2, 1)\) 对应 \(f = 0\)，是全局最优解。
4. 关键细节说明
- 起点生成：需保证起点覆盖可行域，避免集中在某一区域。可使用均匀分布或拉丁超立方抽样。
- 局部算法选择：若函数可微，梯度类算法（如SQP）效率高；不可微时可用Nelder-Mead法等。
- 收敛判断：局部优化需设置收敛容差（如 \(\|\nabla f\| < 10^{-6}\)）或最大迭代次数。
- 计算效率：可并行处理不同起点，减少时间成本。
5. 结果验证
- 理论验证：通过二阶条件（Hessian矩阵正定）确认 \((2, 1)\) 是局部极小点，且无其他点使 \(f(x) < 0\)。
- 数值验证：增加起点数量（如 \(N = 100\)），观察结果是否稳定收敛至 \((2, 1)\)。
6. 总结
多起点方法通过“撒网搜索”策略降低对初始点的依赖性，适用于非凸问题。但需权衡计算成本与精度，合理选择起点数量和局部优化算法。