双步隐式位移QR算法计算实矩阵特征值
字数 1480 2025-10-29 11:31:55

双步隐式位移QR算法计算实矩阵特征值

题目描述
双步隐式位移QR算法是计算实矩阵全部特征值的高效数值方法。当矩阵特征值为复数时，为避免复数运算，算法采用双步策略，在一次迭代中处理一对共轭复数位移，并利用隐式QR技巧，通过实运算将矩阵收敛到实Schur形式，从而求出所有特征值。

解题过程

  1. 预处理：矩阵上Hessenberg化
    • 目标：将原矩阵 \(A\) 通过正交相似变换化为上Hessenberg矩阵 \(H\)（即当 \(i > j+1\) 时 \(h_{ij} = 0\)），减少后续QR迭代的计算量。
    • 方法：应用Householder反射矩阵 \(P_1, P_2, \dots, P_{n-2}\) 进行相似变换：

\[ H = P_{n-2} \cdots P_1 A P_1 \cdots P_{n-2} \]

  • 关键：变换后特征值不变，且QR迭代中每步仅需 \(O(n^2)\) 运算（稠密矩阵需 \(O(n^3)\)）。

  1. 双步隐式位移策略

    • 位移选取：从 \(H\) 的右下角 \(2 \times 2\) 子矩阵 \(\begin{bmatrix} h_{n-1,n-1} & h_{n-1,n} \\ h_{n,n-1} & h_{n,n} \end{bmatrix}\) 计算两个位移量 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\)，作为该子矩阵的特征值（可能为共轭复数）。
    • 双步目的：若直接使用复数位移需复数运算，双步隐式位移通过实运算等效处理一对共轭位移。

  2. 隐式QR迭代步骤

    • 步骤1：构造初等反射矩阵
      计算向量 \(v = (H - \mu_1 I)(H - \mu_2 I)e_1\)（其中 \(e_1\) 为第一标准基向量），并构造Householder反射矩阵 \(P_0\) 使 \(P_0 v\) 平行于 \(e_1\)。
    • 步骤2：隐式相似变换
      对 \(H\) 应用 \(P_0\) 进行相似变换：\(H_1 = P_0 H P_0^T\)。此时 \(H_1\) 不再是上Hessenberg形，但仅前三行和列被“扰动”。
    • 步骤3：恢复上Hessenberg形
      通过一系列Givens旋转或Householder反射 \(P_1, P_2, \dots, P_{n-2}\)，从左上角到右下角逐次消去非零元，将 \(H_1\) 还原为上Hessenberg矩阵 \(H'\)：

\[ H' = P_{n-2} \cdots P_1 H_1 P_1^T \cdots P_{n-2}^T \]

 此过程称为“凸起块”（bulge）的追逐，确保变换后矩阵与显式双步QR迭代结果相同。
  1. 收敛判断与降阶
    • 检查次对角线元 \(|h_{i+1,i}|\)：若某 \(|h_{i+1,i}| < \epsilon\)（阈值），则将矩阵分割为更小的块，分别处理。
    • 最终矩阵收敛到实Schur形式：对角块为 \(1 \times 1\)（实特征值）或 \(2 \times 2\)（共轭复特征值对），直接计算特征值。

关键点

  • 隐式技巧避免显式构造 \((H - \mu_1 I)(H - \mu_2 I)\)，保证数值稳定性。
  • 通过实运算处理复特征值，效率优于单步QR算法。
  • 实际应用（如MATLAB的eig函数）中结合对称性、分治等优化。
双步隐式位移QR算法计算实矩阵特征值 题目描述 双步隐式位移QR算法是计算实矩阵全部特征值的高效数值方法。当矩阵特征值为复数时，为避免复数运算，算法采用双步策略，在一次迭代中处理一对共轭复数位移，并利用隐式QR技巧，通过实运算将矩阵收敛到实Schur形式，从而求出所有特征值。 解题过程 预处理：矩阵上Hessenberg化 目标：将原矩阵 \( A \) 通过正交相似变换化为上Hessenberg矩阵 \( H \)（即当 \( i > j+1 \) 时 \( h_ {ij} = 0 \)），减少后续QR迭代的计算量。 方法：应用Householder反射矩阵 \( P_ 1, P_ 2, \dots, P_ {n-2} \) 进行相似变换： \[ H = P_ {n-2} \cdots P_ 1 A P_ 1 \cdots P_ {n-2} \] 关键：变换后特征值不变，且QR迭代中每步仅需 \( O(n^2) \) 运算（稠密矩阵需 \( O(n^3) \)）。 双步隐式位移策略 位移选取：从 \( H \) 的右下角 \( 2 \times 2 \) 子矩阵 \( \begin{bmatrix} h_ {n-1,n-1} & h_ {n-1,n} \\ h_ {n,n-1} & h_ {n,n} \end{bmatrix} \) 计算两个位移量 \( \mu_ 1 \) 和 \( \mu_ 2 \)，作为该子矩阵的特征值（可能为共轭复数）。 双步目的：若直接使用复数位移需复数运算，双步隐式位移通过实运算等效处理一对共轭位移。 隐式QR迭代步骤 步骤1：构造初等反射矩阵 计算向量 \( v = (H - \mu_ 1 I)(H - \mu_ 2 I)e_ 1 \)（其中 \( e_ 1 \) 为第一标准基向量），并构造Householder反射矩阵 \( P_ 0 \) 使 \( P_ 0 v \) 平行于 \( e_ 1 \)。 步骤2：隐式相似变换 对 \( H \) 应用 \( P_ 0 \) 进行相似变换：\( H_ 1 = P_ 0 H P_ 0^T \)。此时 \( H_ 1 \) 不再是上Hessenberg形，但仅前三行和列被“扰动”。 步骤3：恢复上Hessenberg形 通过一系列Givens旋转或Householder反射 \( P_ 1, P_ 2, \dots, P_ {n-2} \)，从左上角到右下角逐次消去非零元，将 \( H_ 1 \) 还原为上Hessenberg矩阵 \( H' \)： \[ H' = P_ {n-2} \cdots P_ 1 H_ 1 P_ 1^T \cdots P_ {n-2}^T \] 此过程称为“凸起块”（bulge）的追逐，确保变换后矩阵与显式双步QR迭代结果相同。 收敛判断与降阶 检查次对角线元 \( |h_ {i+1,i}| \)：若某 \( |h_ {i+1,i}| < \epsilon \)（阈值），则将矩阵分割为更小的块，分别处理。 最终矩阵收敛到实Schur形式：对角块为 \( 1 \times 1 \)（实特征值）或 \( 2 \times 2 \)（共轭复特征值对），直接计算特征值。 关键点 隐式技巧避免显式构造 \( (H - \mu_ 1 I)(H - \mu_ 2 I) \)，保证数值稳定性。 通过实运算处理复特征值，效率优于单步QR算法。 实际应用（如MATLAB的 eig 函数）中结合对称性、分治等优化。