高斯-埃尔米特求积公式在概率积分中的应用
题目描述
计算积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(x) \, dx\)。此类积分在概率论中常见（如高斯分布的期望计算），但无解析初等函数解。需通过数值方法高效求解。
解题过程
1. 问题分析
积分区间为 \((-\infty, \infty)\)，被积函数包含权重 \(e^{-x^2}\) 和振荡部分 \(\cos(x)\)。高斯-埃尔米特求积公式适用于形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx\) 的积分，其标准形式为：
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]
其中 \(x_i\) 和 \(w_i\) 是埃尔米特多项式的节点和权重。本题中 \(f(x) = \cos(x)\)。
2. 公式准备
对于 \(n\) 点高斯-埃尔米特求积公式：
- 节点 \(x_i\) 是 \(n\) 次埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 的根。
- 权重 \(w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2}\)。
实际计算时可直接查表或调用数值库（如 SciPy）获取 \(x_i, w_i\)。
3. 数值计算步骤
以 \(n=5\) 为例（更高 \(n\) 可提高精度）：
步骤 1：获取节点和权重（保留 6 位小数）：
| 节点 \(x_i\) | 权重 \(w_i\) |
|---|---|
| ±2.020182 | 0.019953 |
| ±0.958572 | 0.393619 |
| 0.000000 | 0.945309 |
步骤 2：计算 \(f(x_i) = \cos(x_i)\)：
- \(f(\pm 2.020182) = \cos(\pm 2.020182) \approx -0.434394\)
- \(f(\pm 0.958572) = \cos(\pm 0.958572) \approx 0.574050\)
- \(f(0.000000) = \cos(0) = 1.000000\)
步骤 3：加权求和 \(I \approx \sum w_i f(x_i)\)：
\[I \approx 0.019953 \times (-0.434394) \times 2 \quad (\text{对称节点合并}) + 0.393619 \times 0.574050 \times 2 + 0.945309 \times 1.000000 \]
计算每一项：
- \(0.019953 \times (-0.434394) \times 2 = -0.017333\)
- \(0.393619 \times 0.574050 \times 2 = 0.451865\)
- \(0.945309 \times 1.000000 = 0.945309\)
最终结果：
\[I \approx -0.017333 + 0.451865 + 0.945309 = 1.379841 \]
4. 误差分析与收敛性
- 解析解为 \(I = \sqrt{\pi} e^{-1/4} \approx 1.380388\) （通过傅里叶变换可得）。
- 绝对误差： \(|1.379841 - 1.380388| \approx 5.47 \times 10^{-4}\)。
- 增加节点数（如 \(n=10\)）可将误差降至 \(10^{-10}\) 量级，因高斯-埃尔米特公式对光滑函数指数收敛。
5. 关键点总结
- 高斯-埃尔米特公式直接处理无穷区间和 \(e^{-x^2}\) 权重，无需变量替换。
- 节点对称性可减少一半计算量。
- 适用于概率积分、量子力学等场景，避免截断误差。