高斯-切比雪夫求积公式的收敛性分析 题目描述 分析高斯-切比雪夫求积公式的收敛性，即研究当节点数 \( n \to \infty \) 时，该公式对连续函数的积分近似值是否收敛到真实积分值。具体问题：设函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上连续，高斯-切比雪夫求积公式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k), \] 其中节点 \( x_ k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \) 为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点，权重 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)。需证明当 \( n \to \infty \) 时，该求积公式的误差趋于零。 解题过程 问题转化与误差表达式 高斯-切比雪夫公式的误差可写为： \[ E_ n(f) = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \sum_ {k=1}^{n} \frac{\pi}{n} f(x_ k). \] 目标是通过分析 \( E_ n(f) \) 的渐近行为证明收敛性。由于该公式具有最高代数精度（\( 2n-1 \) 次多项式精确成立），需利用多项式逼近理论。 关键工具：韦尔斯特拉斯逼近定理 若 \( f(x) \) 在 \([ -1, 1 ]\) 上连续，则对任意 \( \epsilon > 0 \)，存在多项式 \( P(x) \) 使得： \[ \max_ {x \in [ -1,1]} |f(x) - P(x)| < \epsilon. \] 选择 \( P(x) \) 为次数 \( m \) 的多项式，其存在性由定理保证。 误差分解 将误差拆分为两部分： \[ E_ n(f) = E_ n(f - P) + E_ n(P). \] 由于公式对次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式精确成立（即 \( E_ n(P) = 0 \)），只要 \( m \leq 2n-1 \)，则 \( E_ n(P) = 0 \)。因此当 \( n \) 足够大时（满足 \( 2n-1 \geq m \)），有： \[ E_ n(f) = E_ n(f - P). \] 误差上界估计 计算 \( |E_ n(f - P)| \)： \[ |E_ n(f - P)| \leq \int_ {-1}^{1} \frac{|f(x) - P(x)|}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \sum_ {k=1}^{n} \frac{\pi}{n} |f(x_ k) - P(x_ k)|. \] 由韦尔斯特拉斯定理，\( |f(x) - P(x)| < \epsilon \)，代入得： \[ |E_ n(f - P)| < \epsilon \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \epsilon \sum_ {k=1}^{n} \frac{\pi}{n}. \] 注意到 \( \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi \)，且 \( \sum_ {k=1}^{n} \frac{\pi}{n} = \pi \)，因此： \[ |E_ n(f - P)| < \epsilon \pi + \epsilon \pi = 2\pi \epsilon. \] 收敛性结论 对任意 \( \epsilon > 0 \)，存在 \( N \)（由韦尔斯特拉斯定理中 \( m \) 和 \( n \geq \lceil (m+1)/2 \rceil \) 决定），使得当 \( n > N \) 时： \[ |E_ n(f)| = |E_ n(f - P)| < 2\pi \epsilon. \] 由于 \( \epsilon \) 可任意小，这表明 \( \lim_ {n \to \infty} E_ n(f) = 0 \)，即高斯-切比雪夫公式收敛。 总结 通过多项式逼近理论，将连续函数用多项式近似，并利用公式的高代数精度性质，证明了误差随节点数增加而趋于零。此结论适用于任何连续函数，体现了高斯型求积公式的普适收敛性。