非线性规划中的自适应信赖域方法基础题
字数 3349 2025-10-29 11:31:55

非线性规划中的自适应信赖域方法基础题

题目描述：
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2\)
满足约束 \(g_1(x) = x_1 - 2x_2 + 2 \geq 0\)，\(g_2(x) = -x_1 - 2x_2 + 6 \geq 0\)，\(g_3(x) = -x_1 + 2x_2 + 2 \geq 0\)，
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。
要求使用自适应信赖域方法求解该问题，初始点设为 \(x_0 = (2, 0)\)，初始信赖域半径 \(\Delta_0 = 0.5\)，参数 \(\eta = 0.1\)（用于判断步长接受性），自适应调整系数 \(\beta_1 = 0.5\)，\(\beta_2 = 2.0\)。

解题过程：

1. 方法原理简介
自适应信赖域方法通过动态调整信赖域半径 \(\Delta_k\)，在每一步构造一个局部模型（通常为二次近似）来逼近目标函数，并在信赖域内求解该模型的极小值。其核心思想是：

  • 若模型预测的下降量与实际下降量吻合良好，则扩大信赖域半径以加速收敛；
  • 若吻合较差，则缩小半径以提高模型准确性。
    自适应机制通过参数 \(\beta_1, \beta_2\) 调整半径，避免依赖固定阈值。

2. 步骤详解
步骤 1：初始化
设置初始点 \(x_0 = (2, 0)\)，初始半径 \(\Delta_0 = 0.5\)，迭代计数器 \(k = 0\)。计算初始函数值 \(f(x_0) = (2-1)^2 + (0-2.5)^2 = 1 + 6.25 = 7.25\)，梯度 \(\nabla f(x_0) = (2(x_1-1), 2(x_2-2.5)) = (2, -5)\)，Hessian 矩阵 \(H_0 = \nabla^2 f(x_0) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)（常数矩阵）。

步骤 2：构造局部二次模型
在当前点 \(x_k\)，建立近似模型：

\[m_k(p) = f(x_k) + \nabla f(x_k)^T p + \frac{1}{2} p^T H_k p, \]

其中 \(p\) 为步长，且满足约束 \(\|p\| \leq \Delta_k\)（这里采用欧几里得范数）。本例中约束为线性不等式，需在求解子问题时结合信赖域约束。

步骤 3：求解信赖域子问题
需求解：

\[\min_p m_k(p) \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \leq \Delta_k,\ g_i(x_k + p) \geq 0 \ (i=1,2,3). \]

由于约束为线性，可将其与信赖域约束合并为可行域。

  • 在 \(x_0 = (2,0)\) 处，约束条件为：
    \(g_1 = 2 - 0 + 2 = 4 \geq 0\)（满足），
    \(g_2 = -2 - 0 + 6 = 4 \geq 0\)（满足），
    \(g_3 = -2 + 0 + 2 = 0\)（临界满足）。
    因此需确保步长 \(p\) 满足 \(g_3(x_0 + p) = -(2+p_1) + 2(0+p_2) + 2 \geq 0\)，即 \(-p_1 + 2p_2 \geq 0\)。
    子问题变为：

\[ \min_p 7.25 + [2, -5] p + \frac{1}{2} p^T \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} p \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \leq 0.5,\ -p_1 + 2p_2 \geq 0. \]

简化目标函数：\(m_0(p) = 7.25 + 2p_1 - 5p_2 + p_1^2 + p_2^2\)。
由于信赖域半径较小（0.5），可近似忽略约束 \(-p_1 + 2p_2 \geq 0\) 的影响（因初始点已满足该约束为等式，且半径内移动可能仍满足）。通过数值方法（如折线法或凸优化求解器）得近似解 \(p_0 \approx (0.2, 0.4)\)（需验证约束：\(-0.2 + 2 \times 0.4 = 0.6 \geq 0\)，且 \(\|p\| \approx 0.447 \leq 0.5\)）。

步骤 4：计算实际下降与预测下降

  • 实际下降：\(\text{ared}_k = f(x_k) - f(x_k + p_k)\)。
    计算 \(x_1 = x_0 + p_0 = (2.2, 0.4)\)，\(f(x_1) = (1.2)^2 + (-2.1)^2 = 1.44 + 4.41 = 5.85\)，
    故 \(\text{ared}_0 = 7.25 - 5.85 = 1.40\)。
  • 预测下降：\(\text{pred}_k = m_k(0) - m_k(p_k) = -[\nabla f(x_k)^T p_k + \frac{1}{2} p_k^T H_k p_k]\)。
    代入 \(p_0 = (0.2, 0.4)\)：
    \(\nabla f(x_0)^T p_0 = 2 \times 0.2 + (-5) \times 0.4 = 0.4 - 2.0 = -1.6\)，
    \(p_0^T H_0 p_0 = 0.2^2 \times 2 + 0.4^2 \times 2 = 0.08 + 0.32 = 0.4\)，
    故 \(\text{pred}_0 = -[-1.6 + 0.5 \times 0.4] = 1.6 - 0.2 = 1.40\)。

步骤 5：计算比率并调整信赖域半径
比率 \(\rho_k = \frac{\text{ared}_k}{\text{pred}_k} = 1.40 / 1.40 = 1.0\)。
自适应规则：

  • 若 \(\rho_k > \eta\)（此处 \(\eta = 0.1\)），接受步长 \(x_{k+1} = x_k + p_k\)。
  • 调整半径：
    • 若 \(\rho_k < 0.25\)，则 \(\Delta_{k+1} = \beta_1 \Delta_k\)（缩小）；
    • 若 \(\rho_k > 0.75\)，则 \(\Delta_{k+1} = \beta_2 \Delta_k\)（扩大）；
    • 否则保持 \(\Delta_{k+1} = \Delta_k\)。
      本例中 \(\rho_0 = 1.0 > 0.75\)，故 \(\Delta_1 = \beta_2 \Delta_0 = 2.0 \times 0.5 = 1.0\)。

步骤 6：迭代与终止
令 \(k = 1\)，重复步骤 2-5，直至满足收敛条件（如梯度范数小于阈值或半径过小）。

  • 在 \(x_1 = (2.2, 0.4)\) 处，梯度 \(\nabla f(x_1) = (2.4, -4.2)\)，继续求解子问题。
    最终逼近最优解 \(x^* \approx (1.4, 1.7)\)（通过解析法验证：无约束最优解为 \((1, 2.5)\)，但受约束 \(g_3\) 限制，在交点处得解）。

3. 关键点总结

  • 自适应机制通过 \(\rho_k\) 动态调整半径，避免手动设定固定阈值。
  • 子问题需综合处理信赖域约束和问题本身的约束。
  • 该方法在非凸或约束复杂时仍具稳定性。
非线性规划中的自适应信赖域方法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2.5)^2 \) 满足约束 \( g_ 1(x) = x_ 1 - 2x_ 2 + 2 \geq 0 \)，\( g_ 2(x) = -x_ 1 - 2x_ 2 + 6 \geq 0 \)，\( g_ 3(x) = -x_ 1 + 2x_ 2 + 2 \geq 0 \)， 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。 要求使用自适应信赖域方法求解该问题，初始点设为 \( x_ 0 = (2, 0) \)，初始信赖域半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，参数 \( \eta = 0.1 \)（用于判断步长接受性），自适应调整系数 \( \beta_ 1 = 0.5 \)，\( \beta_ 2 = 2.0 \)。 解题过程： 1. 方法原理简介 自适应信赖域方法通过动态调整信赖域半径 \( \Delta_ k \)，在每一步构造一个局部模型（通常为二次近似）来逼近目标函数，并在信赖域内求解该模型的极小值。其核心思想是： 若模型预测的下降量与实际下降量吻合良好，则扩大信赖域半径以加速收敛； 若吻合较差，则缩小半径以提高模型准确性。 自适应机制通过参数 \( \beta_ 1, \beta_ 2 \) 调整半径，避免依赖固定阈值。 2. 步骤详解 步骤 1：初始化 设置初始点 \( x_ 0 = (2, 0) \)，初始半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，迭代计数器 \( k = 0 \)。计算初始函数值 \( f(x_ 0) = (2-1)^2 + (0-2.5)^2 = 1 + 6.25 = 7.25 \)，梯度 \( \nabla f(x_ 0) = (2(x_ 1-1), 2(x_ 2-2.5)) = (2, -5) \)，Hessian 矩阵 \( H_ 0 = \nabla^2 f(x_ 0) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)（常数矩阵）。 步骤 2：构造局部二次模型 在当前点 \( x_ k \)，建立近似模型： \[ m_ k(p) = f(x_ k) + \nabla f(x_ k)^T p + \frac{1}{2} p^T H_ k p, \] 其中 \( p \) 为步长，且满足约束 \( \|p\| \leq \Delta_ k \)（这里采用欧几里得范数）。本例中约束为线性不等式，需在求解子问题时结合信赖域约束。 步骤 3：求解信赖域子问题 需求解： \[ \min_ p m_ k(p) \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \leq \Delta_ k,\ g_ i(x_ k + p) \geq 0 \ (i=1,2,3). \] 由于约束为线性，可将其与信赖域约束合并为可行域。 在 \( x_ 0 = (2,0) \) 处，约束条件为： \( g_ 1 = 2 - 0 + 2 = 4 \geq 0 \)（满足）， \( g_ 2 = -2 - 0 + 6 = 4 \geq 0 \)（满足）， \( g_ 3 = -2 + 0 + 2 = 0 \)（临界满足）。 因此需确保步长 \( p \) 满足 \( g_ 3(x_ 0 + p) = -(2+p_ 1) + 2(0+p_ 2) + 2 \geq 0 \)，即 \( -p_ 1 + 2p_ 2 \geq 0 \)。 子问题变为： \[ \min_ p 7.25 + [ 2, -5] p + \frac{1}{2} p^T \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} p \quad \text{s.t.} \quad \|p\| \leq 0.5,\ -p_ 1 + 2p_ 2 \geq 0. \] 简化目标函数：\( m_ 0(p) = 7.25 + 2p_ 1 - 5p_ 2 + p_ 1^2 + p_ 2^2 \)。 由于信赖域半径较小（0.5），可近似忽略约束 \( -p_ 1 + 2p_ 2 \geq 0 \) 的影响（因初始点已满足该约束为等式，且半径内移动可能仍满足）。通过数值方法（如折线法或凸优化求解器）得近似解 \( p_ 0 \approx (0.2, 0.4) \)（需验证约束：\( -0.2 + 2 \times 0.4 = 0.6 \geq 0 \)，且 \( \|p\| \approx 0.447 \leq 0.5 \)）。 步骤 4：计算实际下降与预测下降 实际下降：\( \text{ared}_ k = f(x_ k) - f(x_ k + p_ k) \)。 计算 \( x_ 1 = x_ 0 + p_ 0 = (2.2, 0.4) \)，\( f(x_ 1) = (1.2)^2 + (-2.1)^2 = 1.44 + 4.41 = 5.85 \)， 故 \( \text{ared}_ 0 = 7.25 - 5.85 = 1.40 \)。 预测下降：\( \text{pred}_ k = m_ k(0) - m_ k(p_ k) = -[ \nabla f(x_ k)^T p_ k + \frac{1}{2} p_ k^T H_ k p_ k ] \)。 代入 \( p_ 0 = (0.2, 0.4) \)： \( \nabla f(x_ 0)^T p_ 0 = 2 \times 0.2 + (-5) \times 0.4 = 0.4 - 2.0 = -1.6 \)， \( p_ 0^T H_ 0 p_ 0 = 0.2^2 \times 2 + 0.4^2 \times 2 = 0.08 + 0.32 = 0.4 \)， 故 \( \text{pred}_ 0 = -[ -1.6 + 0.5 \times 0.4 ] = 1.6 - 0.2 = 1.40 \)。 步骤 5：计算比率并调整信赖域半径 比率 \( \rho_ k = \frac{\text{ared}_ k}{\text{pred}_ k} = 1.40 / 1.40 = 1.0 \)。 自适应规则： 若 \( \rho_ k > \eta \)（此处 \( \eta = 0.1 \)），接受步长 \( x_ {k+1} = x_ k + p_ k \)。 调整半径： 若 \( \rho_ k < 0.25 \)，则 \( \Delta_ {k+1} = \beta_ 1 \Delta_ k \)（缩小）； 若 \( \rho_ k > 0.75 \)，则 \( \Delta_ {k+1} = \beta_ 2 \Delta_ k \)（扩大）； 否则保持 \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k \)。 本例中 \( \rho_ 0 = 1.0 > 0.75 \)，故 \( \Delta_ 1 = \beta_ 2 \Delta_ 0 = 2.0 \times 0.5 = 1.0 \)。 步骤 6：迭代与终止 令 \( k = 1 \)，重复步骤 2-5，直至满足收敛条件（如梯度范数小于阈值或半径过小）。 在 \( x_ 1 = (2.2, 0.4) \) 处，梯度 \( \nabla f(x_ 1) = (2.4, -4.2) \)，继续求解子问题。 最终逼近最优解 \( x^* \approx (1.4, 1.7) \)（通过解析法验证：无约束最优解为 \( (1, 2.5) \)，但受约束 \( g_ 3 \) 限制，在交点处得解）。 3. 关键点总结 自适应机制通过 \( \rho_ k \) 动态调整半径，避免手动设定固定阈值。 子问题需综合处理信赖域约束和问题本身的约束。 该方法在非凸或约束复杂时仍具稳定性。