并行与分布式系统中的分布式最小生成树：GHS算法（Gallager-Humblet-Spira）

题目描述
在分布式系统中，假设有一个由多个节点（处理器）构成的连通无向图，每个节点仅知道自己的邻居节点及与之相连的边的权重。设计一个分布式算法，使得所有节点协作构建整个图的最小生成树（MST），且不依赖任何中心节点。GHS算法是解决这一问题的经典方法，它基于分治思想，通过逐步合并局部MST来生成全局MST。

解题过程

1. 初始化

   • 每个节点初始为一个独立的“片段”（Fragment），即一个只包含自己的MST。
   • 每个片段维护以下状态：
     • 片段标识符（Fragment ID）：初始为节点自身的ID。
     • 片段级别（Level）：初始为0，表示片段大小（合并次数）。

2. 核心操作：寻找最小出边（MOE）

   • 每个片段需要找到连接自身与其他片段的最小权重边（Minimal Outgoing Edge, MOE）。
   • 节点在片段内通过广播-汇聚通信（如使用B树结构）收集候选边：
     • 每个叶子节点（片段中的边缘节点）比较其连接外部片段的边，选择权重最小的边作为本地候选。
     • 中间节点汇总子节点的候选边，选择权重最小的边向上传递，直至片段领导者（初始为每个节点的自身ID）确定全局MOE。

3. 合并片段

   • 两个片段通过各自的MOE连接时，若它们的级别相同，则合并为一个新片段：
     • 新片段的级别为原级别+1。
     • 新片段的ID由合并边两端的节点ID共同决定（通常选择较小ID作为新标识符）。
   • 若级别不同，低级别片段会被高级别片段“吸收”（无需增加级别）。

4. 同步与终止

   • 合并后，新片段的领导者广播新ID和级别，所有节点更新状态。
   • 算法终止条件：所有节点属于同一片段（即全局MST构建完成）。

示例
假设一个4节点图，边权重为：

• (A-B, 1), (B-C, 2), (C-D, 3), (A-D, 4)

1. 初始：4个片段（级别0）。
2. 第一轮：A与B通过边1合并（级别1），C与D通过边3合并（级别1）。
3. 第二轮：片段{A,B}的MOE是B-C（权重2），片段{C,D}的MOE是C-B（权重2），两者合并为最终MST（级别2）。

关键点

• 通过级别机制避免循环合并（如高级别片段优先）。
• 通信复杂度为O(N log N)，适合大规模分布式环境。

此算法通过局部协作实现全局优化，体现了分布式计算的典型范式。