排序算法之：最小差值排序（MinDiff Sort）

题目描述
给定一个整数数组 nums，要求将其重新排列，使得任意两个相邻元素之间的绝对差值之和最小化。具体来说，我们需要找到一种排列方式，使得以下目标函数最小：
S = |nums[0] - nums[1]| + |nums[1] - nums[2]| + ... + |nums[n-2] - nums[n-1]|
其中 n 是数组长度。请设计一个高效的算法解决此问题，并分析其正确性。

解题过程

1. 问题分析

   • 目标是最小化相邻元素的绝对差之和。直观上，若数组元素有序（升序或降序），相邻元素的差值会较小，但需验证是否最优。
   • 考虑极端情况：若数组为 [1, 2, 3]，升序排列的差值和为 1 + 1 = 2；若乱序为 [2, 1, 3]，差值和为 1 + 2 = 3，可见有序更优。
   • 关键观察：最小差值排序实际等价于将数组排序后，按特定模式排列（如“低-高-低-高”交替），以进一步减少大差值出现的次数。

2. 算法思路

   • 步骤1：对数组进行排序，得到升序序列 sorted_nums。
   • 步骤2：将排序后的数组分为两半：
     • 前半部分为较小元素（索引 0 到 mid-1，mid = n//2）。
     • 后半部分为较大元素（索引 mid 到 n-1）。
   • 步骤3：交替从后半部分和前半部分取元素，构造新排列。具体模式为：
     • 若 n 为偶数：按“大-小-大-小”顺序交替取值（例如取索引 mid, 0, mid+1, 1, ...）。
     • 若 n 为奇数：将中位数（索引 mid）置于首位，剩余元素按偶数情况处理。
   • 原理：通过交替排列，避免大差值集中出现（如最大值和最小值相邻），使差值均匀分布。

3. 示例演示

   • 输入 nums = [5, 2, 9, 1, 4]（n=5，奇数）：
     • 排序后：[1, 2, 4, 5, 9]，中位数索引 mid=2（值4）。
     • 首位放中位数4，剩余 [1, 2]（前半）和 [5, 9]（后半）交替：取后半首元素5，再取前半首元素1，接着后半下一元素9，前半下一元素2。
     • 最终排列：[4, 5, 1, 9, 2]，差值和 |4-5| + |5-1| + |1-9| + |9-2| = 1+4+8+7=20。
     • 对比升序排列 [1,2,4,5,9] 的差值和 1+2+1+4=8？注意：此例中交替排列反而更差，说明需修正策略。

4. 修正策略

   • 正确解法：直接对数组排序后，选择升序或降序中差值和更小的排列。
     • 对于排序后的数组 a[0] ≤ a[1] ≤ ... ≤ a[n-1]，升序差值和为 Σ|a[i]-a[i+1]|，降序差值和相同（因绝对值对称）。
     • 但若要求“相邻差值之和最小”，排序后的序列实际已最优（因为任意交换相邻元素都会增加差值）。
   • 结论：最小差值排序的本质就是直接对数组排序，升序或降序均可。

5. 算法实现

   def min_diff_sort(nums):
       nums.sort()  # 升序排序
       return nums
   

   • 时间复杂度：O(n log n)，由排序步骤主导。
   • 空间复杂度：O(1)（原地排序）或 O(n)（非原地）。

6. 正确性证明

   • 反证法：假设存在更优排列，其中某对相邻元素 a, b 满足 a > b，且它们不是排序序列中的连续元素。交换它们使其有序，必会减少差值 |a-b|，与假设矛盾。
   • 数学推导：绝对值差之和的最小值等于排序后相邻差之和，因为三角不等式保证乱序排列不会更优。

总结
本题通过分析目标函数，发现最小化相邻差值之和等价于直接排序，避免了复杂的构造策略。关键点在于理解绝对值差函数的数学性质，从而简化问题。