列生成算法在电信网络带宽分配问题中的应用示例
字数 2090 2025-10-29 11:31:55

列生成算法在电信网络带宽分配问题中的应用示例

题目描述
某电信运营商需要为多个用户请求分配网络带宽资源。假设网络由多条链路组成，每条链路有固定容量，每个用户请求对应一条路径（由若干链路组成）和一定带宽需求。目标是最大化满足的用户请求总带宽（或请求数量），且不违反链路容量限制。该问题可建模为线性规划问题，但由于路径组合爆炸，直接枚举所有变量不可行。需使用列生成算法动态生成路径变量进行求解。

解题过程

1. 问题建模

  • 设网络链路集合为 \(L\)，每条链路 \(l \in L\) 的容量为 \(c_l\)。
  • 用户请求集合为 \(R\)，每个请求 \(r \in R\) 对应一条路径 \(p_r\)（固定路径）和带宽需求 \(d_r\)。
  • 决策变量：\(x_r \in [0, 1]\) 表示请求 \(r\) 的满足比例（连续松弛）。
  • 目标：最大化总满足带宽

\[ \max \sum_{r \in R} d_r x_r \]

  • 约束：每条链路上的总带宽不超过容量

\[ \sum_{r \in R: l \in p_r} d_r x_r \leq c_l, \quad \forall l \in L \]

  • 问题：若路径可动态选择（如请求可分配至多条路径），变量数随路径数指数增长，需列生成处理。

2. 列生成框架

  • 主问题（Master Problem, MP）：仅考虑路径子集 \(P \subset \text{所有可行路径}\)

\[ \max \sum_{p \in P} d_p x_p \]

\[ \text{s.t. } \sum_{p \in P: l \in p} d_p x_p \leq c_l, \quad \forall l \in L \]

  • 子问题（Pricing Problem）：寻找减少目标成本的新路径。
    • 对偶变量：设约束 \(\sum_{p: l \in p} d_p x_p \leq c_l\) 的对偶值为 \(\pi_l \geq 0\)。
    • 子问题目标：对请求 \(r\)，找路径 \(p\) 使 检验数 \(\bar{c}_p = d_r - \sum_{l \in p} d_r \pi_l\) 最大（即最负的检验数对应最优列）。
    • 若 \(\max_p \bar{c}_p > 0\)，则添加该路径至主问题；否则当前解最优。

3. 子问题求解

  • 子问题本质是最短路问题：
    • 将链路 \(l\) 的权重设为 \(\pi_l\)（成本），路径成本为 \(\sum_{l \in p} \pi_l\)。
    • 目标转化为：

\[ \max_p \left( d_r - d_r \sum_{l \in p} \pi_l \right) = d_r \left(1 - \sum_{l \in p} \pi_l \right) \]

  • 等价于找使 \(\sum_{l \in p} \pi_l\) 最小的路径（Dijkstra算法求解）。

4. 算法步骤

  1. 初始化：构造初始路径集合（如每条请求的默认路径）。
  2. 循环迭代：
    a. 求解主问题（线性规划），得到对偶变量 \(\pi_l\)。
    b. 对每个请求 \(r\)，用Dijkstra算法找最小成本路径 \(p^*\)。
    c. 计算检验数 \(\bar{c}_{p^*} = d_r (1 - \sum_{l \in p^*} \pi_l)\)。
    d. 若 \(\bar{c}_{p^*} > 0\)，添加路径 \(p^*\) 至主问题；否则请求 \(r\) 无改进列。
    e. 若所有请求的检验数均非正，停止迭代。
  3. 输出：主问题的解为最优带宽分配方案。

5. 实例演示

  • 假设网络有 3 条链路：\(L_1, L_2, L_3\)，容量均为 10。
  • 2 个请求：\(r_1\) 需求 \(d_1=5\)，\(r_2\) 需求 \(d_2=8\)。
  • 初始路径：\(r_1\) 走 \(L_1\)，\(r_2\) 走 \(L_2\)。
  • 第一次主问题：
    • 解：\(x_1=1, x_2=1\)，目标值 13。
    • 对偶变量：\(\pi_1=0, \pi_2=0, \pi_3=0\)（约束未紧）。
  • 子问题：所有路径检验数为正（因 \(\pi_l=0\)），无改进，算法终止（本例简单，初始即最优）。

6. 关键点

  • 列生成避免枚举所有路径，通过子问题动态生成有效列。
  • 子问题转化为最短路问题，利用网络结构高效求解。
  • 最终解为连续松弛，若需整数解（如 \(x_r \in \{0,1\}\)），需结合分支定界（分支定价）。

通过以上步骤，列生成算法可高效求解大规模电信网络带宽分配问题。

列生成算法在电信网络带宽分配问题中的应用示例 题目描述 某电信运营商需要为多个用户请求分配网络带宽资源。假设网络由多条链路组成，每条链路有固定容量，每个用户请求对应一条路径（由若干链路组成）和一定带宽需求。目标是最大化满足的用户请求总带宽（或请求数量），且不违反链路容量限制。该问题可建模为线性规划问题，但由于路径组合爆炸，直接枚举所有变量不可行。需使用列生成算法动态生成路径变量进行求解。 解题过程 1. 问题建模 设网络链路集合为 \( L \)，每条链路 \( l \in L \) 的容量为 \( c_ l \)。 用户请求集合为 \( R \)，每个请求 \( r \in R \) 对应一条路径 \( p_ r \)（固定路径）和带宽需求 \( d_ r \)。 决策变量 ：\( x_ r \in [ 0, 1 ] \) 表示请求 \( r \) 的满足比例（连续松弛）。 目标 ：最大化总满足带宽 \[ \max \sum_ {r \in R} d_ r x_ r \] 约束 ：每条链路上的总带宽不超过容量 \[ \sum_ {r \in R: l \in p_ r} d_ r x_ r \leq c_ l, \quad \forall l \in L \] 问题 ：若路径可动态选择（如请求可分配至多条路径），变量数随路径数指数增长，需列生成处理。 2. 列生成框架 主问题（Master Problem, MP） ：仅考虑路径子集 \( P \subset \text{所有可行路径} \) \[ \max \sum_ {p \in P} d_ p x_ p \] \[ \text{s.t. } \sum_ {p \in P: l \in p} d_ p x_ p \leq c_ l, \quad \forall l \in L \] 子问题（Pricing Problem） ：寻找减少目标成本的新路径。 对偶变量：设约束 \( \sum_ {p: l \in p} d_ p x_ p \leq c_ l \) 的对偶值为 \( \pi_ l \geq 0 \)。 子问题目标：对请求 \( r \)，找路径 \( p \) 使 检验数 \( \bar{c} p = d_ r - \sum {l \in p} d_ r \pi_ l \) 最大（即最负的检验数对应最优列）。 若 \( \max_ p \bar{c}_ p > 0 \)，则添加该路径至主问题；否则当前解最优。 3. 子问题求解 子问题本质是 最短路问题 ： 将链路 \( l \) 的权重设为 \( \pi_ l \)（成本），路径成本为 \( \sum_ {l \in p} \pi_ l \)。 目标转化为： \[ \max_ p \left( d_ r - d_ r \sum_ {l \in p} \pi_ l \right) = d_ r \left(1 - \sum_ {l \in p} \pi_ l \right) \] 等价于找使 \( \sum_ {l \in p} \pi_ l \) 最小的路径（Dijkstra算法求解）。 4. 算法步骤 初始化 ：构造初始路径集合（如每条请求的默认路径）。 循环迭代 ： a. 求解主问题（线性规划），得到对偶变量 \( \pi_ l \)。 b. 对每个请求 \( r \)，用Dijkstra算法找最小成本路径 \( p^* \)。 c. 计算检验数 \( \bar{c} {p^* } = d_ r (1 - \sum {l \in p^ } \pi_ l) \)。 d. 若 \( \bar{c}_ {p^ } > 0 \)，添加路径 \( p^* \) 至主问题；否则请求 \( r \) 无改进列。 e. 若所有请求的检验数均非正，停止迭代。 输出 ：主问题的解为最优带宽分配方案。 5. 实例演示 假设网络有 3 条链路：\( L_ 1, L_ 2, L_ 3 \)，容量均为 10。 2 个请求：\( r_ 1 \) 需求 \( d_ 1=5 \)，\( r_ 2 \) 需求 \( d_ 2=8 \)。 初始路径 ：\( r_ 1 \) 走 \( L_ 1 \)，\( r_ 2 \) 走 \( L_ 2 \)。 第一次主问题 ： 解：\( x_ 1=1, x_ 2=1 \)，目标值 13。 对偶变量：\( \pi_ 1=0, \pi_ 2=0, \pi_ 3=0 \)（约束未紧）。 子问题 ：所有路径检验数为正（因 \( \pi_ l=0 \)），无改进，算法终止（本例简单，初始即最优）。 6. 关键点 列生成避免枚举所有路径，通过子问题动态生成有效列。 子问题转化为最短路问题，利用网络结构高效求解。 最终解为连续松弛，若需整数解（如 \( x_ r \in \{0,1\} \)），需结合分支定界（分支定价）。 通过以上步骤，列生成算法可高效求解大规模电信网络带宽分配问题。