龙贝格积分法的外推加速技术
字数 2530 2025-10-29 11:32:02

龙贝格积分法的外推加速技术

题目描述
龙贝格积分法是一种通过外推加速技术提高数值积分精度的算法。它基于复合梯形公式，通过递归计算和Richardson外推，逐步消除误差的主项，从而快速收敛到积分的精确值。给定一个函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\)，要求使用龙贝格积分法计算其近似值，并分析外推加速的过程。

解题过程
1. 基础：复合梯形公式
龙贝格积分法的起点是复合梯形公式。将区间 \([a, b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间（\(k = 0, 1, 2, \dots\)），步长 \(h_k = \frac{b-a}{2^k}\)，则梯形公式的近似值为：

\[T_0^{(k)} = h_k \left[ \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{i=1}^{2^k - 1} f(a + i h_k) \right]. \]

  • 当 \(k=0\) 时，区间不分割，直接计算梯形公式：
    \(T_0^{(0)} = \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]\)。
  • 每次倍增区间数量（\(k\) 增加 1），新节点处的函数值只需计算一次，旧节点值可复用，减少计算量。

2. 误差分析与外推思想
复合梯形公式的误差可展开为：

\[I - T_0^{(k)} = c_1 h_k^2 + c_2 h_k^4 + c_3 h_k^6 + \dots, \]

其中 \(c_i\) 是与 \(f(x)\) 的高阶导数相关的常数。误差主项为 \(O(h_k^2)\)。
Richardson 外推的核心思想：若两个不同步长的近似值误差展开形式已知，可通过线性组合消去误差主项。例如，比较 \(T_0^{(k)}\)（步长 \(h_k\)）和 \(T_0^{(k+1)}\)（步长 \(h_{k+1} = h_k/2\)）：

\[I - T_0^{(k)} \approx c_1 h_k^2, \quad I - T_0^{(k+1)} \approx c_1 (h_k/2)^2 = \frac{c_1 h_k^2}{4}. \]

联立两式消去 \(c_1 h_k^2\)，得到更高精度的近似：

\[I \approx \frac{4 T_0^{(k+1)} - T_0^{(k)}}{3}. \]

此即一次外推，将精度从 \(O(h_k^2)\) 提升至 \(O(h_k^4)\)。

3. 龙贝格表示法与递推公式
龙贝格算法将外推过程表格化（龙贝格表）：

  • 第一列 \(T_{0}^{(k)}\) 为不同步长的梯形公式值。
  • 第 \(m\) 次外推的公式为：

\[T_m^{(k)} = \frac{4^m T_{m-1}^{(k+1)} - T_{m-1}^{(k)}}{4^m - 1}, \quad m \geq 1, \ k \geq 0. \]

  • \(m=1\)：对应 Simpson 公式（精度 \(O(h^4)\)）。
  • \(m=2\)：对应 Cotes 公式（精度 \(O(h^6)\)）。
  • \(m=3\)：精度 \(O(h^8)\)，依此类推。
  • 表格的行（\(k\)）增加代表细分区间，列（\(m\)）增加代表外推次数。

4. 计算步骤示例
以 \(I = \int_0^1 e^x \, dx\) 为例（精确值 \(e - 1 \approx 1.718281828\)）：

  1. 初始化：
    • \(k=0\)，\(h_0 = 1\)，\(T_0^{(0)} = \frac{1}{2} [e^0 + e^1] = \frac{1 + e}{2} \approx 1.8591409\)。
  2. 倍增区间（\(k=1\)）：
    • 新增节点 \(x=0.5\)，\(h_1 = 0.5\)：
      \(T_0^{(1)} = \frac{T_0^{(0)}}{2} + h_1 \cdot f(0.5) = \frac{1.8591409}{2} + 0.5 \cdot e^{0.5} \approx 1.7539311\)。
    • 一次外推（\(m=1\)）：
      \(T_1^{(0)} = \frac{4 T_0^{(1)} - T_0^{(0)}}{3} \approx \frac{4 \times 1.7539311 - 1.8591409}{3} = 1.7188612\)。
  3. 继续迭代（\(k=2\)）：
    • 新增节点 \(x=0.25, 0.75\)，\(h_2 = 0.25\)：
      \(T_0^{(2)} = \frac{T_0^{(1)}}{2} + h_2 [f(0.25) + f(0.75)] \approx 1.7272219\)。
    • 外推：
      \(T_1^{(1)} = \frac{4 T_0^{(2)} - T_0^{(1)}}{3} \approx 1.7183188\)，
      \(T_2^{(0)} = \frac{16 T_1^{(1)} - T_1^{(0)}}{15} \approx 1.7182818\)。
  4. 此时 \(T_2^{(0)}\) 已与精确值吻合到小数点后 7 位，收敛迅速。

5. 收敛性与终止条件

  • 龙贝格表对角线元素 \(T_k^{(0)}\) 收敛最快。
  • 终止条件可设为相邻外推值的相对误差小于阈值：

\[ \left| \frac{T_m^{(k)} - T_{m-1}^{(k+1)}}{T_m^{(k)}} \right| < \epsilon. \]

  • 若 \(f(x)\) 高阶导数存在且连续，外推可有效加速；若函数有奇点，需谨慎使用。

总结
龙贝格积分法通过复合梯形公式的步长倍增和外推技术，逐步提高精度，避免直接计算高阶牛顿-科特斯公式的数值不稳定性。其核心是利用误差展开的规律性，以少量计算获得高精度结果。

龙贝格积分法的外推加速技术 题目描述 龙贝格积分法是一种通过外推加速技术提高数值积分精度的算法。它基于复合梯形公式，通过递归计算和Richardson外推，逐步消除误差的主项，从而快速收敛到积分的精确值。给定一个函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b]\) 上的积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，要求使用龙贝格积分法计算其近似值，并分析外推加速的过程。 解题过程 1. 基础：复合梯形公式 龙贝格积分法的起点是复合梯形公式。将区间 \([ a, b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间（\(k = 0, 1, 2, \dots\)），步长 \(h_ k = \frac{b-a}{2^k}\)，则梯形公式的近似值为： \[ T_ 0^{(k)} = h_ k \left[ \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_ {i=1}^{2^k - 1} f(a + i h_ k) \right ]. \] 当 \(k=0\) 时，区间不分割，直接计算梯形公式： \(T_ 0^{(0)} = \frac{b-a}{2} [ f(a) + f(b) ]\)。 每次倍增区间数量（\(k\) 增加 1），新节点处的函数值只需计算一次，旧节点值可复用，减少计算量。 2. 误差分析与外推思想 复合梯形公式的误差可展开为： \[ I - T_ 0^{(k)} = c_ 1 h_ k^2 + c_ 2 h_ k^4 + c_ 3 h_ k^6 + \dots, \] 其中 \(c_ i\) 是与 \(f(x)\) 的高阶导数相关的常数。误差主项为 \(O(h_ k^2)\)。 Richardson 外推的核心思想：若两个不同步长的近似值误差展开形式已知，可通过线性组合消去误差主项。例如，比较 \(T_ 0^{(k)}\)（步长 \(h_ k\)）和 \(T_ 0^{(k+1)}\)（步长 \(h_ {k+1} = h_ k/2\)）： \[ I - T_ 0^{(k)} \approx c_ 1 h_ k^2, \quad I - T_ 0^{(k+1)} \approx c_ 1 (h_ k/2)^2 = \frac{c_ 1 h_ k^2}{4}. \] 联立两式消去 \(c_ 1 h_ k^2\)，得到更高精度的近似： \[ I \approx \frac{4 T_ 0^{(k+1)} - T_ 0^{(k)}}{3}. \] 此即一次外推，将精度从 \(O(h_ k^2)\) 提升至 \(O(h_ k^4)\)。 3. 龙贝格表示法与递推公式 龙贝格算法将外推过程表格化（龙贝格表）： 第一列 \(T_ {0}^{(k)}\) 为不同步长的梯形公式值。 第 \(m\) 次外推的公式为： \[ T_ m^{(k)} = \frac{4^m T_ {m-1}^{(k+1)} - T_ {m-1}^{(k)}}{4^m - 1}, \quad m \geq 1, \ k \geq 0. \] \(m=1\)：对应 Simpson 公式（精度 \(O(h^4)\)）。 \(m=2\)：对应 Cotes 公式（精度 \(O(h^6)\)）。 \(m=3\)：精度 \(O(h^8)\)，依此类推。 表格的行（\(k\)）增加代表细分区间，列（\(m\)）增加代表外推次数。 4. 计算步骤示例 以 \(I = \int_ 0^1 e^x \, dx\) 为例（精确值 \(e - 1 \approx 1.718281828\)）： 初始化 ： \(k=0\)，\(h_ 0 = 1\)，\(T_ 0^{(0)} = \frac{1}{2} [ e^0 + e^1 ] = \frac{1 + e}{2} \approx 1.8591409\)。 倍增区间（\(k=1\)） ： 新增节点 \(x=0.5\)，\(h_ 1 = 0.5\)： \(T_ 0^{(1)} = \frac{T_ 0^{(0)}}{2} + h_ 1 \cdot f(0.5) = \frac{1.8591409}{2} + 0.5 \cdot e^{0.5} \approx 1.7539311\)。 一次外推（\(m=1\)）： \(T_ 1^{(0)} = \frac{4 T_ 0^{(1)} - T_ 0^{(0)}}{3} \approx \frac{4 \times 1.7539311 - 1.8591409}{3} = 1.7188612\)。 继续迭代（\(k=2\)） ： 新增节点 \(x=0.25, 0.75\)，\(h_ 2 = 0.25\)： \(T_ 0^{(2)} = \frac{T_ 0^{(1)}}{2} + h_ 2 [ f(0.25) + f(0.75) ] \approx 1.7272219\)。 外推： \(T_ 1^{(1)} = \frac{4 T_ 0^{(2)} - T_ 0^{(1)}}{3} \approx 1.7183188\)， \(T_ 2^{(0)} = \frac{16 T_ 1^{(1)} - T_ 1^{(0)}}{15} \approx 1.7182818\)。 此时 \(T_ 2^{(0)}\) 已与精确值吻合到小数点后 7 位，收敛迅速。 5. 收敛性与终止条件 龙贝格表对角线元素 \(T_ k^{(0)}\) 收敛最快。 终止条件可设为相邻外推值的相对误差小于阈值： \[ \left| \frac{T_ m^{(k)} - T_ {m-1}^{(k+1)}}{T_ m^{(k)}} \right| < \epsilon. \] 若 \(f(x)\) 高阶导数存在且连续，外推可有效加速；若函数有奇点，需谨慎使用。 总结 龙贝格积分法通过复合梯形公式的步长倍增和外推技术，逐步提高精度，避免直接计算高阶牛顿-科特斯公式的数值不稳定性。其核心是利用误差展开的规律性，以少量计算获得高精度结果。