基于线性规划的随机规划期望值模型求解示例 题目描述 考虑一个生产计划问题：某工厂需决定下月产品A和B的产量（$x_ 1$和$x_ 2$），目标是最大化期望利润。每个产品的单位利润受市场需求影响，存在不确定性。假设需求分为两种情景（如高需求、低需求），其概率分别为0.6和0.4。具体参数如下： 情景1（概率0.6） ：产品A单位利润为5，产品B单位利润为4。 情景2（概率0.4） ：产品A单位利润为3，产品B单位利润为6。 约束条件 ： 资源1消耗：产品A需2单位，产品B需1单位，总资源量不超过10。 资源2消耗：产品A需1单位，产品B需3单位，总资源量不超过15。 产量非负：$x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0$。 问题可建模为 随机规划的期望值模型 ，目标函数为期望利润最大化。 解题过程 步骤1：建立数学模型 将随机利润转化为期望值： 产品A的期望利润：$0.6 \times 5 + 0.4 \times 3 = 4.2$ 产品B的期望利润：$0.6 \times 4 + 0.4 \times 6 = 4.8$ 线性规划模型为： \[ \begin{aligned} \max \quad & 4.2x_ 1 + 4.8x_ 2 \\ \text{s.t.} \quad & 2x_ 1 + x_ 2 \leq 10 \quad \text{(资源1约束)} \\ & x_ 1 + 3x_ 2 \leq 15 \quad \text{(资源2约束)} \\ & x_ 1, x_ 2 \geq 0 \end{aligned} \] 步骤2：转换为标准形式 引入松弛变量$s_ 1, s_ 2 \geq 0$，将不等式约束转为等式： \[ \begin{aligned} 2x_ 1 + x_ 2 + s_ 1 &= 10 \\ x_ 1 + 3x_ 2 + s_ 2 &= 15 \end{aligned} \] 目标函数保持不变：$\max \, 4.2x_ 1 + 4.8x_ 2 + 0s_ 1 + 0s_ 2$。 步骤3：单纯形法求解 初始基变量选择 ：选择松弛变量$s_ 1, s_ 2$为基变量，初始解为$(x_ 1, x_ 2, s_ 1, s_ 2) = (0, 0, 10, 15)$，目标值$Z = 0$。 检验数计算 ： 非基变量$x_ 1$的检验数：$4.2 - 0 \times 2 - 0 \times 1 = 4.2$ 非基变量$x_ 2$的检验数：$4.8 - 0 \times 1 - 0 \times 3 = 4.8$ 由于检验数均正，当前解非最优。 入基变量选择 ：$x_ 2$的检验数更大（4.8 > 4.2），选$x_ 2$入基。 出基变量选择 ：计算比值（右端项/对应系数）： 约束1：$10 / 1 = 10$ 约束2：$15 / 3 = 5$ 最小正比值为5，对应约束2，因此$s_ 2$出基。 行变换更新表格 ： 将约束2的$x_ 2$系数化为1：$x_ 1/3 + x_ 2 + s_ 2/3 = 5$ 代入约束1消去$x_ 2$：$2x_ 1 + (5 - x_ 1/3 - s_ 2/3) + s_ 1 = 10 \rightarrow (5/3)x_ 1 + s_ 1 - s_ 2/3 = 5$ 新基变量为$s_ 1$和$x_ 2$，解为$x_ 1=0, x_ 2=5, s_ 1=5, s_ 2=0$，$Z = 4.8 \times 5 = 24$。 第二次迭代 ： 非基变量$x_ 1$的检验数：$4.2 - 0 \times (5/3) - 4.8 \times (1/3) = 4.2 - 1.6 = 2.6 > 0$ $s_ 2$的检验数为负，忽略。 选$x_ 1$入基。 比值测试：约束1：$5 / (5/3) = 3$，约束2：$5 / (1/3) = 15$，最小比值3对应$s_ 1$出基。 行变换后得新解：$x_ 1=3, x_ 2=4, s_ 1=0, s_ 2=0$，$Z = 4.2 \times 3 + 4.8 \times 4 = 12.6 + 19.2 = 31.8$。 最优性检验 ：非基变量$s_ 1, s_ 2$的检验数均为负，当前解最优。 步骤4：结果解释 最优生产计划为产品A生产3单位、产品B生产4单位，最大期望利润为31.8。资源1和资源2均被完全利用（松弛变量为0），符合约束条件。 关键点总结 随机规划期望值模型通过概率加权将不确定性转化为确定性线性规划。 单纯形法通过迭代逐步优化解，直至所有检验数非正。 该模型适用于风险中性决策者，但未考虑风险度量（如方差）。