高斯过程分类（Gaussian Process Classification）的原理与预测过程

字数 3087 2025-10-29 11:32:02

高斯过程分类（Gaussian Process Classification）的原理与预测过程

题目描述
高斯过程分类（GPC）是一种基于贝叶斯方法的非参数分类算法，适用于二分类或多分类问题。其核心思想是：假设隐函数（latent function）服从高斯过程先验，通过观测数据对隐函数进行后验推断，再利用softmax或sigmoid函数将隐函数值映射为类别概率。与高斯过程回归（GPR）不同，GPC需处理非高斯的观测似然（如伯努利分布），因此需用近似推断（如拉普拉斯近似或变分推断）求解后验。

解题过程详解
1. 定义隐函数与高斯过程先验

设输入数据为 \(X = \{\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_n\}\)，二分类标签为 \(\mathbf{y} = \{y_1, \dots, y_n\} \in \{0,1\}\)。
引入隐函数 \(f(\mathbf{x})\)，假设其服从高斯过程先验：

\[ f(\mathbf{x}) \sim \mathcal{GP}(m(\mathbf{x}), k(\mathbf{x}, \mathbf{x}')) \]

其中 \(m(\mathbf{x})\) 为均值函数（常设为0），\(k(\mathbf{x}, \mathbf{x}')\) 为协方差函数（如径向基函数RBF）。

隐函数值 \(\mathbf{f} = [f(\mathbf{x}_1), \dots, f(\mathbf{x}_n)]^T\) 的先验分布为多元高斯分布：

\[ p(\mathbf{f} \mid X) = \mathcal{N}(\mathbf{0}, K) \]

这里 \(K\) 是核矩阵，满足 \(K_{ij} = k(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\)。

2. 构建观测似然模型

对于二分类问题，标签 \(y_i\) 由隐函数 \(f(\mathbf{x}_i)\) 通过sigmoid函数（如logistic函数）生成：

\[ p(y_i \mid f_i) = \sigma(y_i f_i) = \frac{1}{1 + e^{-y_i f_i}} \]

注意：这里 \(y_i \in \{-1,1\}\) 或 \(\{0,1\}\) 需调整sigmoid形式，通常使用 \(\sigma(f_i)^{y_i} (1-\sigma(f_i))^{1-y_i}\)。

整个数据集的似然为：

\[ p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) = \prod_{i=1}^n p(y_i \mid f_i) \]

由于似然非高斯，后验 \(p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y})\) 无法直接解析求解。

3. 后验推断的近似方法（以拉普拉斯近似为例）

目标：近似后验 \(p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y}) \propto p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) p(\mathbf{f} \mid X)\)。
步骤：
a. 找到后验众数 \(\hat{\mathbf{f}}\)（即最大化 \(\log p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y})\) 的 \(\mathbf{f}\)）：

\[ \hat{\mathbf{f}} = \arg\max_{\mathbf{f}} \left[ \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) - \frac{1}{2} \mathbf{f}^T K^{-1} \mathbf{f} \right] \]

使用牛顿迭代法求解，迭代公式为：

\[ \mathbf{f}_{\text{new}} = (K^{-1} + W)^{-1} W \mathbf{z} \]

其中 \(W = -\nabla_{\mathbf{f}} \nabla_{\mathbf{f}} \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f})\) 为对角阵，\(\mathbf{z} = \mathbf{f} + W^{-1} \nabla_{\mathbf{f}} \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f})\)。
b. 在 \(\hat{\mathbf{f}}\) 处对后验做二阶泰勒展开，得到高斯近似：

\[ p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y}) \approx \mathcal{N}(\hat{\mathbf{f}}, (K^{-1} + W)^{-1}) \]

4. 对新样本的预测

对于新输入 \(\mathbf{x}_*\)，首先计算隐函数后验 \(p(f_* \mid X, \mathbf{y}, \mathbf{x}_*)\)。
联合先验为：

\[ p(\mathbf{f}, f_*) = \mathcal{N}\left( \mathbf{0}, \begin{bmatrix} K & K_* \\ K_*^T & k_{**} \end{bmatrix} \right) \]

其中 \(K_* = [k(\mathbf{x}_*, \mathbf{x}_1), \dots, k(\mathbf{x}_*, \mathbf{x}_n)]\)，\(k_{**} = k(\mathbf{x}_*, \mathbf{x}_*)\)。

利用高斯条件分布公式，隐函数后验均值和方差为：

\[ \mathbb{E}[f_*] = K_*^T K^{-1} \hat{\mathbf{f}}, \quad \mathbb{V}[f_*] = k_{**} - K_*^T (K^{-1} - (K + W^{-1})^{-1}) K_* \]

最终分类概率通过积分计算：

\[ p(y_* = 1 \mid X, \mathbf{y}, \mathbf{x}_*) = \int \sigma(f_*) p(f_* \mid X, \mathbf{y}, \mathbf{x}_*) df_* \]

该积分无闭式解，可通过数值积分（如高斯-埃尔米特积分）或蒙特卡洛采样近似。

5. 多分类扩展

对 \(C\) 个类别，为每个类别引入一个隐函数 \(f_c(\mathbf{x})\)，隐函数向量 \(\mathbf{f} = [f_1, \dots, f_C]\) 服从联合高斯过程。
使用softmax似然： \(p(y_i = c \mid \mathbf{f}_i) = \frac{e^{f_c(\mathbf{x}_i)}}{\sum_{j=1}^C e^{f_j(\mathbf{x}_i)}}\)。
后验推断需更复杂的近似（如变分推断），因softmax导致计算复杂度增加。

关键点总结

GPC通过隐函数的高斯过程先验和非线性似然函数结合，实现概率化分类。
拉普拉斯近似将非高斯后验转化为高斯分布，简化预测过程。
核函数的选择（如RBF、Matern）影响分类边界的光滑性。

高斯过程分类（Gaussian Process Classification）的原理与预测过程题目描述高斯过程分类（GPC）是一种基于贝叶斯方法的非参数分类算法，适用于二分类或多分类问题。其核心思想是：假设隐函数（latent function）服从高斯过程先验，通过观测数据对隐函数进行后验推断，再利用softmax或sigmoid函数将隐函数值映射为类别概率。与高斯过程回归（GPR）不同，GPC需处理非高斯的观测似然（如伯努利分布），因此需用近似推断（如拉普拉斯近似或变分推断）求解后验。解题过程详解 1. 定义隐函数与高斯过程先验设输入数据为 \( X = \{\mathbf{x}_ 1, \dots, \mathbf{x}_ n\} \)，二分类标签为 \( \mathbf{y} = \{y_ 1, \dots, y_ n\} \in \{0,1\} \)。引入隐函数 \( f(\mathbf{x}) \)，假设其服从高斯过程先验： \[ f(\mathbf{x}) \sim \mathcal{GP}(m(\mathbf{x}), k(\mathbf{x}, \mathbf{x}')) \] 其中 \( m(\mathbf{x}) \) 为均值函数（常设为0），\( k(\mathbf{x}, \mathbf{x}') \) 为协方差函数（如径向基函数RBF）。隐函数值 \( \mathbf{f} = [ f(\mathbf{x}_ 1), \dots, f(\mathbf{x} n) ]^T \) 的先验分布为多元高斯分布： \[ p(\mathbf{f} \mid X) = \mathcal{N}(\mathbf{0}, K) \] 这里 \( K \) 是核矩阵，满足 \( K {ij} = k(\mathbf{x}_ i, \mathbf{x}_ j) \)。 2. 构建观测似然模型对于二分类问题，标签 \( y_ i \) 由隐函数 \( f(\mathbf{x}_ i) \) 通过sigmoid函数（如logistic函数）生成： \[ p(y_ i \mid f_ i) = \sigma(y_ i f_ i) = \frac{1}{1 + e^{-y_ i f_ i}} \] 注意：这里 \( y_ i \in \{-1,1\} \) 或 \( \{0,1\} \) 需调整sigmoid形式，通常使用 \( \sigma(f_ i)^{y_ i} (1-\sigma(f_ i))^{1-y_ i} \)。整个数据集的似然为： \[ p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) = \prod_ {i=1}^n p(y_ i \mid f_ i) \] 由于似然非高斯，后验 \( p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y}) \) 无法直接解析求解。 3. 后验推断的近似方法（以拉普拉斯近似为例）目标：近似后验 \( p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y}) \propto p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) p(\mathbf{f} \mid X) \)。步骤： a. 找到后验众数 \( \hat{\mathbf{f}} \)（即最大化 \( \log p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y}) \) 的 \( \mathbf{f} \)）： \[ \hat{\mathbf{f}} = \arg\max_ {\mathbf{f}} \left[ \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) - \frac{1}{2} \mathbf{f}^T K^{-1} \mathbf{f} \right ] \] 使用牛顿迭代法求解，迭代公式为： \[ \mathbf{f} {\text{new}} = (K^{-1} + W)^{-1} W \mathbf{z} \] 其中 \( W = -\nabla {\mathbf{f}} \nabla_ {\mathbf{f}} \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) \) 为对角阵，\( \mathbf{z} = \mathbf{f} + W^{-1} \nabla_ {\mathbf{f}} \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{f}) \)。 b. 在 \( \hat{\mathbf{f}} \) 处对后验做二阶泰勒展开，得到高斯近似： \[ p(\mathbf{f} \mid X, \mathbf{y}) \approx \mathcal{N}(\hat{\mathbf{f}}, (K^{-1} + W)^{-1}) \] 4. 对新样本的预测对于新输入 \( \mathbf{x} * \)，首先计算隐函数后验 \( p(f * \mid X, \mathbf{y}, \mathbf{x} * ) \)。联合先验为： \[ p(\mathbf{f}, f ) = \mathcal{N}\left( \mathbf{0}, \begin{bmatrix} K & K_ \\ K_ ^T & k_ {** } \end{bmatrix} \right) \] 其中 \( K_ = [ k(\mathbf{x} , \mathbf{x} 1), \dots, k(\mathbf{x} , \mathbf{x} n)] \)，\( k {** } = k(\mathbf{x} , \mathbf{x}_ ) \)。利用高斯条件分布公式，隐函数后验均值和方差为： \[ \mathbb{E}[ f_ ] = K_ ^T K^{-1} \hat{\mathbf{f}}, \quad \mathbb{V}[ f_ ] = k_ {** } - K_ ^T (K^{-1} - (K + W^{-1})^{-1}) K_* \] 最终分类概率通过积分计算： \[ p(y_* = 1 \mid X, \mathbf{y}, \mathbf{x} * ) = \int \sigma(f ) p(f_ \mid X, \mathbf{y}, \mathbf{x} * ) df * \] 该积分无闭式解，可通过数值积分（如高斯-埃尔米特积分）或蒙特卡洛采样近似。 5. 多分类扩展对 \( C \) 个类别，为每个类别引入一个隐函数 \( f_ c(\mathbf{x}) \)，隐函数向量 \( \mathbf{f} = [ f_ 1, \dots, f_ C ] \) 服从联合高斯过程。使用softmax似然： \( p(y_ i = c \mid \mathbf{f}_ i) = \frac{e^{f_ c(\mathbf{x} i)}}{\sum {j=1}^C e^{f_ j(\mathbf{x}_ i)}} \)。后验推断需更复杂的近似（如变分推断），因softmax导致计算复杂度增加。关键点总结 GPC通过隐函数的高斯过程先验和非线性似然函数结合，实现概率化分类。拉普拉斯近似将非高斯后验转化为高斯分布，简化预测过程。核函数的选择（如RBF、Matern）影响分类边界的光滑性。