基于Krylov子空间的MINRES算法解对称不定线性方程组 题目描述 MINRES（最小残差）算法是专门用于求解大型稀疏对称但可能不定的线性方程组的迭代方法。给定形式为Ax=b的方程组，其中A是对称矩阵（A^T=A），但既不是正定也不是负定（即特征值有正有负），要求设计一个数值稳定的算法，在每次迭代中最小化残差向量的2-范数。 解题过程 1. 问题特性分析 对称不定矩阵无法使用共轭梯度法（CG），因为CG要求矩阵正定以保证能量范数的正定性。MINRES通过最小化残差‖b-Ax_ k‖₂来解决此问题，不依赖矩阵的正定性。 2. Krylov子空间构建 从初始猜测x₀出发（通常设为0向量），计算初始残差r₀=b-Ax₀。第k次迭代的解x_ k来自Krylov子空间： K_ k(A, r₀) = span{r₀, Ar₀, A²r₀, ..., A^{k-1}r₀} 3. Lanczos三对角化过程 通过Lanczos迭代将A正交相似变换为三对角矩阵T_ k： 初始化：v₁ = r₀/‖r₀‖₂, β₀=‖r₀‖₂, v₀=0 迭代步骤（j=1,2,...,k）： α_ j = v_ jᵀAv_ j w_ j = Av_ j - α_ jv_ j - β_ {j-1}v_ {j-1} （正交化） β_ j = ‖w_ j‖₂ v_ {j+1} = w_ j/β_ j 得到正交矩阵V_ k=[ v₁|v₂|...|v_ k]满足AV_ k = V_ kT_ k + β_ kv_ {k+1}e_ kᵀ，其中T_ k是三对角矩阵。 4. 残差最小化转化 将原问题转化为： min ‖b-Ax_ k‖₂ = min ‖β₀e₁ - T_ ky‖₂ （其中x_ k = V_ ky） 这里β₀=‖r₀‖₂，e₁是单位向量[ 1,0,...,0 ]ᵀ。 5. QR分解求解简化问题 通过Givens旋转对T_ k进行QR分解： 逐列应用Givens旋转消去次对角线元素 更新右端项：d_ k = Q_ kᵀ(β₀e₁) 回代求解上三角系统R_ ky = d_ k 由于每次迭代只需更新最后一行，可采用递推方式避免重复计算。 6. 算法具体步骤 a. 初始化：设置x₀, r₀=b-Ax₀, v₀=0, v₁=r₀/β₀ (β₀=‖r₀‖₂) b. 迭代循环（k=1,2,...）： 执行Lanczos步骤得到α_ k, β_ k, v_ {k+1} 更新QR分解（应用前次旋转+新Givens旋转） 检查残差范数，若满足容差则退出 更新解向量x_ k = x_ {k-1} + γ_ kp_ k （p_ k由正交化过程得到） 7. 数值稳定性保障 使用显式正交化防止Lanczos向量丢失正交性 通过QR分解避免三对角系统求逆的不稳定性 利用递推关系减少存储需求（仅需存储最近几个向量） 当残差范数小于预设阈值或达到最大迭代次数时算法终止，输出近似解x_ k。该算法能有效处理对称不定问题，且具有超线性收敛特性。