切比雪夫求积公式的构造与多项式精度分析 题目描述 切比雪夫求积公式是一种基于切比雪夫多项式零点作为求积节点的插值型求积公式，形式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \] 其中节点 \(x_ k\) 是 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x)\) 的零点，权重 \(w_ k = \pi/n\)。需要分析该公式的多项式精度（即能精确积分多少次多项式），并解释其与高斯型求积公式的区别。 解题过程 1. 切比雪夫多项式与节点性质 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_ n(x)\) 在 \([ -1,1 ]\) 上的零点为： \[ x_ k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right), \quad k=1,2,\dots,n. \] 这些节点在区间 \([ -1,1 ]\) 上非均匀分布，两端密集、中间稀疏。 2. 求积公式的构造 对于带权积分 \(\int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx\)，直接以 \(T_ n(x)\) 的零点作为插值节点构造拉格朗日插值多项式 \(P_ {n-1}(x)\)，代入积分得： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{P_ {n-1}(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k) \int_ {-1}^{1} \frac{L_ k(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx, \] 其中 \(L_ k(x)\) 是拉格朗日基函数。 通过正交性可证明权重为常数 \(w_ k = \pi/n\)（详细推导需利用切比雪夫多项式的正交性）。 3. 多项式精度分析 关键定理 ：该公式对任意次数 \(\leq n-1\) 的多项式精确成立，但对 \(n\) 次多项式不一定精确。 证明思路 ： 若 \(f(x)\) 是次数 \(\leq n-1\) 的多项式，则其可被 \(n\) 个节点的插值多项式精确表示，即 \(f(x) = P_ {n-1}(x)\)。 由于权函数 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 与切比雪夫多项式正交，插值求积公式的误差项为零，因此积分精确。 检验 \(f(x) = T_ n(x)\)： 左端积分：\(\int_ {-1}^{1} \frac{T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = 0\)（因 \(T_ n(x)\) 与 \(T_ 0(x)=1\) 正交）。 右端求和：\(\sum_ {k=1}^{n} \frac{\pi}{n} T_ n(x_ k) = 0\)（因 \(T_ n(x_ k)=0\)）。 此时公式仍精确，但进一步检验 \(f(x)=T_ {n+1}(x)\) 会发现不精确，因此 代数精度为 \(n-1\) （若节点数 \(n\) 为偶数，可能通过对称性提升至 \(n\)，但一般情况为 \(n-1\)）。 4. 与高斯型公式的区别 高斯-切比雪夫公式 是特化的高斯公式，权函数固定为 \(1/\sqrt{1-x^2}\)，节点为切比雪夫零点，权重相等。 一般高斯型公式 针对任意权函数构造节点和权重，以达到最高 \(2n-1\) 次代数精度。 本例中精度为 \(n-1\)，低于高斯公式的 \(2n-1\)，因节点预先固定为切比雪夫零点，未优化权重以提升精度。 总结 切比雪夫求积公式通过特定正交多项式的零点构造，虽损失了部分精度，但节点分布均匀性好，数值稳定性强，适用于振荡函数或特定权函数的积分问题。