双步QR算法计算实非对称矩阵特征值
字数 1348 2025-10-29 11:32:03

双步QR算法计算实非对称矩阵特征值

题目描述
双步QR算法是计算实非对称矩阵全部特征值的高效数值方法。当矩阵特征值为复数时，标准隐式QR算法会引入复数运算，降低计算效率。双步QR算法通过连续执行两次QR迭代步骤，将复数运算转化为实数运算，避免直接处理复数，同时利用隐式位移技术加速收敛。该算法适用于一般实矩阵，能高效求出所有实特征值或共轭复特征值对。

解题过程

  1. 矩阵预处理：约化为上Hessenberg形式
    首先通过Householder变换将原矩阵A转化为上Hessenberg矩阵H（次对角线以下全为零）。例如对4×4矩阵：

\[ H = \begin{bmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & h_{14} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} & h_{24} \\ 0 & h_{32} & h_{33} & h_{34} \\ 0 & 0 & h_{43} & h_{44} \end{bmatrix} \]

此步骤保留特征值但减少后续计算量。

  1. 双步位移策略
    每轮迭代选取两个位移量，通常取H右下角2×2子矩阵的特征值：

\[ \mu_1, \mu_2 = \text{eig}\left(\begin{bmatrix} h_{n-1,n-1} & h_{n-1,n} \\ h_{n,n-1} & h_{n,n} \end{bmatrix}\right) \]

若特征值为复数，则取共轭对。双步位移多项式为 \((H-\mu_1 I)(H-\mu_2 I)\)，通过隐式QR步骤避免直接计算该多项式。

  1. 隐式QR迭代的核心步骤

    • 首列计算：计算向量 \(v = (H-\mu_1 I)(H-\mu_2 I)e_1\)（其中\(e_1\)为第一标准基向量），仅需前三个分量非零。
    • 构造Householder反射：根据v构造变换矩阵P₀，使P₀v平行于e₁。
    • 相似变换：对H应用P₀得到H' = P₀HP₀ᵀ，此时H'可能在下次对角线以下出现非零元（称为"bulge"）。
    • 追 bulge 过程：通过后续Householder变换P₁, P₂,... 将bulge沿对角线向下驱逐，恢复上Hessenberg形式。例如P₁作用于H'的前两行和列，消去次对角线下的非零元，并将bulge下移一行。重复直至bulge被逐出矩阵底部。

  2. 收敛判断与降阶
    当次对角线元\(h_{i+1,i}\)小于阈值时，可进行降阶：

    • 若\(h_{n,n-1} ≈ 0\)，则\(h_{nn}\)为特征值，对前(n-1)×(n-1)子矩阵递归。
    • 若\(h_{n-1,n-2} ≈ 0\)，则右下2×2块给出两个特征值（可能为共轭复数），对前(n-2)×(n-2)子矩阵递归。

  3. 特征值提取
    最终H的对角块（1×1或2×2）的特征值即为原矩阵特征值。2×2块对应实特征值对或共轭复特征值对，可直接求解二次方程得到。

关键点

  • 双步位移避免复数运算，且通过隐式变换保持数值稳定性。
  • 追bulge过程通过局部相似变换保持特征值不变，同时加速收敛。
  • 实际实现中需处理如精度控制、迭代限次等数值细节。
双步QR算法计算实非对称矩阵特征值 题目描述 双步QR算法是计算实非对称矩阵全部特征值的高效数值方法。当矩阵特征值为复数时，标准隐式QR算法会引入复数运算，降低计算效率。双步QR算法通过连续执行两次QR迭代步骤，将复数运算转化为实数运算，避免直接处理复数，同时利用隐式位移技术加速收敛。该算法适用于一般实矩阵，能高效求出所有实特征值或共轭复特征值对。 解题过程 矩阵预处理：约化为上Hessenberg形式 首先通过Householder变换将原矩阵A转化为上Hessenberg矩阵H（次对角线以下全为零）。例如对4×4矩阵： \[ H = \begin{bmatrix} h_ {11} & h_ {12} & h_ {13} & h_ {14} \\ h_ {21} & h_ {22} & h_ {23} & h_ {24} \\ 0 & h_ {32} & h_ {33} & h_ {34} \\ 0 & 0 & h_ {43} & h_ {44} \end{bmatrix} \] 此步骤保留特征值但减少后续计算量。 双步位移策略 每轮迭代选取两个位移量，通常取H右下角2×2子矩阵的特征值： \[ \mu_ 1, \mu_ 2 = \text{eig}\left(\begin{bmatrix} h_ {n-1,n-1} & h_ {n-1,n} \\ h_ {n,n-1} & h_ {n,n} \end{bmatrix}\right) \] 若特征值为复数，则取共轭对。双步位移多项式为 \((H-\mu_ 1 I)(H-\mu_ 2 I)\)，通过隐式QR步骤避免直接计算该多项式。 隐式QR迭代的核心步骤 首列计算 ：计算向量 \( v = (H-\mu_ 1 I)(H-\mu_ 2 I)e_ 1 \)（其中\(e_ 1\)为第一标准基向量），仅需前三个分量非零。 构造Householder反射 ：根据v构造变换矩阵P₀，使P₀v平行于e₁。 相似变换 ：对H应用P₀得到H' = P₀HP₀ᵀ，此时H'可能在下次对角线以下出现非零元（称为"bulge"）。 追 bulge 过程 ：通过后续Householder变换P₁, P₂,... 将bulge沿对角线向下驱逐，恢复上Hessenberg形式。例如P₁作用于H'的前两行和列，消去次对角线下的非零元，并将bulge下移一行。重复直至bulge被逐出矩阵底部。 收敛判断与降阶 当次对角线元\(h_ {i+1,i}\)小于阈值时，可进行降阶： 若\(h_ {n,n-1} ≈ 0\)，则\(h_ {nn}\)为特征值，对前(n-1)×(n-1)子矩阵递归。 若\(h_ {n-1,n-2} ≈ 0\)，则右下2×2块给出两个特征值（可能为共轭复数），对前(n-2)×(n-2)子矩阵递归。 特征值提取 最终H的对角块（1×1或2×2）的特征值即为原矩阵特征值。2×2块对应实特征值对或共轭复特征值对，可直接求解二次方程得到。 关键点 双步位移避免复数运算，且通过隐式变换保持数值稳定性。 追bulge过程通过局部相似变换保持特征值不变，同时加速收敛。 实际实现中需处理如精度控制、迭代限次等数值细节。