线性动态规划：最长湍流子数组的变种——最多允许翻转一个子数组的最长湍流子数组

字数 2616 2025-10-29 11:32:03

线性动态规划：最长湍流子数组的变种——最多允许翻转一个子数组的最长湍流子数组

题目描述
给定一个整数数组 arr，如果比较符号在子数组的每个相邻元素对之间翻转（即 > 和 < 交替出现），则该子数组称为湍流子数组。例如，[4, 2, 10, 7] 是湍流的，因为 4 > 2、2 < 10、10 > 7。现在允许你最多翻转数组中的一个连续子数组（翻转指反转子数组的顺序），然后找到翻转后可能的最长湍流子数组的长度。

示例
输入：arr = [9, 4, 2, 10, 7, 8, 8, 1, 9]
输出：6
解释：翻转子数组 [8, 8]（实际上翻转后仍是 [8, 8]，但允许操作），可以得到湍流子数组 [4, 2, 10, 7, 8, 1] 或 [2, 10, 7, 8, 1, 9]，长度为 6。

解题过程

步骤 1：理解基础湍流子数组问题
首先，回顾经典湍流子数组问题（无需翻转）：定义 up[i] 为以 i 结尾且最后一段是上升（arr[i] > arr[i-1]）的最长湍流子数组长度；down[i] 为以 i 结尾且最后一段是下降（arr[i] < arr[i-1]）的长度。转移方程为：

若 arr[i] > arr[i-1]：up[i] = down[i-1] + 1，down[i] = 1
若 arr[i] < arr[i-1]：down[i] = up[i-1] + 1，up[i] = 1
若相等：up[i] = down[i] = 1
最终答案是所有 max(up[i], down[i]) 的最大值。

步骤 2：分析翻转操作的影响
翻转一个连续子数组相当于将原数组分成三部分：[左段, 中段, 右段]，翻转中段后，中段内部符号顺序反转，同时中段与左段的连接处、中段与右段的连接处的符号关系可能改变。目标是最大化翻转后的全局湍流子数组长度。

关键观察：

翻转操作最多只能修复一个“断点”（即不满足湍流条件的位置）。
最优解通常是通过翻转一个短子数组（甚至长度为 0 或 1）来连接左右两个湍流段。

步骤 3：定义状态和预处理
我们预处理以下数组：

left_up[i]：从 i 向左的最长湍流子数组长度，且以 i 结尾是上升（即 arr[i] > arr[i-1]）。
left_down[i]：从 i 向左的最长湍流子数组长度，且以 i 结尾是下降。
right_up[i]：从 i 向右的最长湍流子数组长度，且以 i 开头是上升。
right_down[i]：从 i 向右的最长湍流子数组长度，且以 i 开头是下降。

这些数组可以通过左右各扫描一次得到，类似经典问题但方向不同。

步骤 4：枚举翻转中段的左右端点
直接枚举所有子数组翻转会超时（O(n²)）。优化：考虑翻转中段长度为 k，则中段翻转后，其内部符号反转，但湍流性质保留（因为符号交替性在反转后依然保持）。因此，翻转中段本身不影响内部湍流长度，关键在于连接左右段。

更优策略：枚举连接点。对于每个位置 i，检查以下情况：

不翻转：直接取 max(left_up[i], left_down[i])。
翻转一个子数组来连接 i 左右的湍流段：
- 情况 A：翻转 [i, i+1]（即交换 arr[i] 和 arr[i+1]），检查是否能连接左右段。
- 情况 B：翻转 [i-1, i]，类似。
- 情况 C：翻转更长的子数组，但实际最优解通常只需翻转 2 个元素或更短。

实际上，只需考虑翻转长度为 0（不翻转）、1（无意义）、2、3 的情况，因为更长翻转可以分解为短翻转的组合。

步骤 5：具体枚举情况
我们枚举每个索引 i 作为潜在连接点，计算以下可能：

不翻转：答案至少为 max(left_up[i], left_down[i])。
翻转两个元素（如 [i, i+1]）：
翻转后，arr[i] 和 arr[i+1] 交换，检查 arr[i-1] 与 arr[i+1] 的关系、arr[i] 与 arr[i+2] 的关系是否能连接左右湍流段。
例如，若 left_down[i-1] 表示以 i-1 结尾是下降，则要求 arr[i-1] > arr[i+1] 才能连接；同时右段要求 arr[i] < arr[i+2] 才能接上 right_up[i+2]。
连接后长度 = left_down[i-1] + 2 + right_up[i+2]。
翻转三个元素（如 [i-1, i+1]）：类似，但中段长度为 3，翻转后中段内部符号反转，连接处检查 arr[i-2] 与 arr[i+1]、arr[i-1] 与 arr[i+2] 的关系。

步骤 6：算法实现概要

预处理 left_up, left_down, right_up, right_down。
初始化答案 ans 为不翻转时的最大湍流子数组长度。
对于每个 i 从 1 到 n-2：
- 检查翻转 [i, i+1]：
  - 若 arr[i-1] > arr[i+1] 且与 left_down[i-1] 兼容，则可能连接左段。
  - 若 arr[i] < arr[i+2] 且与 right_up[i+2] 兼容，则连接右段。
  - 更新 ans。
- 检查翻转 [i-1, i]：类似。
- 检查翻转 [i-1, i+1]：类似但考虑中段长度 3。
注意边界处理（索引不越界）。

步骤 7：复杂度分析
预处理 O(n)，枚举 O(n)，总复杂度 O(n)，空间 O(n)。

示例验证
对 arr = [9,4,2,10,7,8,8,1,9]：

不翻转时最长湍流子数组为 5（如 [4,2,10,7,8]）。
翻转 [8,8]（索引 6~7）后，可连接 [2,10,7] 和 [1,9]，得到长度 6。
算法会枚举到连接点 i=7 左右，通过翻转短子数组得到更长结果。

通过以上步骤，即可求出最多翻转一个子数组后的最长湍流子数组长度。

线性动态规划：最长湍流子数组的变种——最多允许翻转一个子数组的最长湍流子数组题目描述给定一个整数数组 arr ，如果比较符号在子数组的每个相邻元素对之间翻转（即 > 和 < 交替出现），则该子数组称为湍流子数组。例如， [4, 2, 10, 7] 是湍流的，因为 4 > 2 、 2 < 10 、 10 > 7 。现在允许你最多翻转数组中的一个连续子数组（翻转指反转子数组的顺序），然后找到翻转后可能的最长湍流子数组的长度。示例输入： arr = [9, 4, 2, 10, 7, 8, 8, 1, 9] 输出： 6 解释：翻转子数组 [8, 8] （实际上翻转后仍是 [8, 8] ，但允许操作），可以得到湍流子数组 [4, 2, 10, 7, 8, 1] 或 [2, 10, 7, 8, 1, 9] ，长度为 6。解题过程步骤 1：理解基础湍流子数组问题首先，回顾经典湍流子数组问题（无需翻转）：定义 up[i] 为以 i 结尾且最后一段是上升（ arr[i] > arr[i-1] ）的最长湍流子数组长度； down[i] 为以 i 结尾且最后一段是下降（ arr[i] < arr[i-1] ）的长度。转移方程为：若 arr[i] > arr[i-1] ： up[i] = down[i-1] + 1 ， down[i] = 1 若 arr[i] < arr[i-1] ： down[i] = up[i-1] + 1 ， up[i] = 1 若相等： up[i] = down[i] = 1 最终答案是所有 max(up[i], down[i]) 的最大值。步骤 2：分析翻转操作的影响翻转一个连续子数组相当于将原数组分成三部分： [左段, 中段, 右段] ，翻转中段后，中段内部符号顺序反转，同时中段与左段的连接处、中段与右段的连接处的符号关系可能改变。目标是最大化翻转后的全局湍流子数组长度。关键观察：翻转操作最多只能修复一个“断点”（即不满足湍流条件的位置）。最优解通常是通过翻转一个短子数组（甚至长度为 0 或 1）来连接左右两个湍流段。步骤 3：定义状态和预处理我们预处理以下数组： left_up[i] ：从 i 向左的最长湍流子数组长度，且以 i 结尾是上升（即 arr[i] > arr[i-1] ）。 left_down[i] ：从 i 向左的最长湍流子数组长度，且以 i 结尾是下降。 right_up[i] ：从 i 向右的最长湍流子数组长度，且以 i 开头是上升。 right_down[i] ：从 i 向右的最长湍流子数组长度，且以 i 开头是下降。这些数组可以通过左右各扫描一次得到，类似经典问题但方向不同。步骤 4：枚举翻转中段的左右端点直接枚举所有子数组翻转会超时（O(n²)）。优化：考虑翻转中段长度为 k ，则中段翻转后，其内部符号反转，但湍流性质保留（因为符号交替性在反转后依然保持）。因此，翻转中段本身不影响内部湍流长度，关键在于连接左右段。更优策略：枚举连接点。对于每个位置 i ，检查以下情况：不翻转：直接取 max(left_up[i], left_down[i]) 。翻转一个子数组来连接 i 左右的湍流段：情况 A：翻转 [i, i+1] （即交换 arr[i] 和 arr[i+1] ），检查是否能连接左右段。情况 B：翻转 [i-1, i] ，类似。情况 C：翻转更长的子数组，但实际最优解通常只需翻转 2 个元素或更短。实际上，只需考虑翻转长度为 0（不翻转）、1（无意义）、2、3 的情况，因为更长翻转可以分解为短翻转的组合。步骤 5：具体枚举情况我们枚举每个索引 i 作为潜在连接点，计算以下可能：不翻转：答案至少为 max(left_up[i], left_down[i]) 。翻转两个元素（如 [i, i+1] ）：翻转后， arr[i] 和 arr[i+1] 交换，检查 arr[i-1] 与 arr[i+1] 的关系、 arr[i] 与 arr[i+2] 的关系是否能连接左右湍流段。例如，若 left_down[i-1] 表示以 i-1 结尾是下降，则要求 arr[i-1] > arr[i+1] 才能连接；同时右段要求 arr[i] < arr[i+2] 才能接上 right_up[i+2] 。连接后长度 = left_down[i-1] + 2 + right_up[i+2] 。翻转三个元素（如 [i-1, i+1] ）：类似，但中段长度为 3，翻转后中段内部符号反转，连接处检查 arr[i-2] 与 arr[i+1] 、 arr[i-1] 与 arr[i+2] 的关系。步骤 6：算法实现概要预处理 left_up , left_down , right_up , right_down 。初始化答案 ans 为不翻转时的最大湍流子数组长度。对于每个 i 从 1 到 n-2：检查翻转 [i, i+1] ：若 arr[i-1] > arr[i+1] 且与 left_down[i-1] 兼容，则可能连接左段。若 arr[i] < arr[i+2] 且与 right_up[i+2] 兼容，则连接右段。更新 ans 。检查翻转 [i-1, i] ：类似。检查翻转 [i-1, i+1] ：类似但考虑中段长度 3。注意边界处理（索引不越界）。步骤 7：复杂度分析预处理 O(n)，枚举 O(n)，总复杂度 O(n)，空间 O(n)。示例验证对 arr = [9,4,2,10,7,8,8,1,9] ：不翻转时最长湍流子数组为 5（如 [4,2,10,7,8] ）。翻转 [8,8] （索引 6~7）后，可连接 [2,10,7] 和 [1,9] ，得到长度 6。算法会枚举到连接点 i=7 左右，通过翻转短子数组得到更长结果。通过以上步骤，即可求出最多翻转一个子数组后的最长湍流子数组长度。