双对角化QR迭代算法计算矩阵奇异值 题目描述 计算任意m×n矩阵A的奇异值分解（SVD）。SVD将A分解为UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵且对角线元素为奇异值。本题目要求通过双对角化预处理后结合QR迭代算法，高效精确地计算所有奇异值。 解题过程 1. 双对角化预处理 目标 ：将矩阵A转化为双对角矩阵B，使A=UBV^T（U、V正交），且B的非零元素仅出现在主对角线和第一次对角线上。 步骤 ： a. 对A实施左Householder反射，消去每列下方元素： 取第一列a₁，构造反射矩阵H₁使H₁a₁只有第一个元素非零。 计算A⁽¹⁾=H₁A，此时第一列下方元素为零。 b. 对A⁽¹⁾实施右Householder反射，消去第一行右侧元素（除前两个元素）： 取第一行除首个元素外的子向量，构造反射矩阵K₁使其第二个元素后为零。 计算A⁽²⁾=A⁽¹⁾K₁，此时第一行第三列后元素为零。 c. 交替左右反射，重复直至得到双对角矩阵B。 关键点 ：双对角化将原问题转化为计算双对角矩阵的奇异值，且B的奇异值与A相同。 2. 双对角矩阵的QR迭代 原理 ：对B^T B应用隐式QR迭代（避免显式计算B^T B），直接对B进行Givens旋转，使非对角元素趋于零。 单步迭代流程 ： a. 引入位移 ：计算B的右下角2×2子矩阵的特征值，取接近bₙₙ²的特征值作为位移μ（Wilkinson位移）。 b. 隐式QR步骤 ： 构造Givens旋转G₁，使向量(B的第一列)与μ相关变换后，仅前两个元素非零。 对B左乘G₁：B←G₁B，这会破坏双对角形式，在第二行第一次对角线右侧引入非零元。 c. 右乘恢复双对角形 ： 用Givens旋转右乘B，逐次消去非零元。例如，右乘旋转矩阵H₁消去新增的非零元，可能在上对角线引入新非零元。 通过一系列左乘和右乘Givens旋转，使矩阵恢复双对角形式。 d. 收敛判断 ：重复迭代直至某次对角线下方元素小于阈值（如|bᵢ₊₁,ᵢ| < ε(|bᵢᵢ| + |bᵢ₊₁,ᵢ₊₁|)），此时bᵢᵢ为奇异值近似。 3. 奇异值提取与精度优化 对角块处理 ：当非对角元素可忽略时，将B分割为更小的双对角子矩阵分别处理。 收敛加速 ：若次对角元素小，可设为零，将矩阵分裂为块对角形式。 最终结果 ：迭代完成后，B的对角线元素即为A的奇异值，且按降序排列。 总结 该算法通过双对角化降低问题复杂度，再结合隐式QR迭代避免数值不稳定，高效计算全部奇异值。关键优势在于保持数值稳定性同时减少计算量。