非线性规划中的Hooke-Jeeves模式搜索法基础题

字数 2557 2025-10-29 11:32:03

非线性规划中的Hooke-Jeeves模式搜索法基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x)1, x_2) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2\)
初始点取为 \(x^{(0)} = [0.0, 3.0]\)，允许误差 \(\epsilon = 10^{-3}\)。
使用Hooke-Jeeves模式搜索法求解该问题，要求详细展示迭代过程。

解题过程

算法原理
Hooke-Jeeves法由探索移动和模式移动交替进行：
- 探索移动：从当前基点 \(x^{(k)}\) 出发，沿坐标轴方向进行试探步长搜索（固定步长 \(\delta\)），若目标函数下降则更新临时点。
- 模式移动：若探索移动成功，沿当前基点与前一基点的连线方向（模式方向）进行加速搜索，步长按比例扩展。
  迭代终止条件为步长 \(\delta < \epsilon\)。
参数设置
- 初始步长 \(\delta = 0.5\)，缩减因子 \(\alpha = 0.5\)（若探索失败则缩小步长）。
- 坐标方向集 \(d_1 = [1,0]\), \(d_2 = [0,1]\)。
迭代详解
第1轮迭代
- 步骤1：探索移动（从基点 \( x^{(0)} = [0.0, 3.0] \）
  - 沿 \(d_1\) 方向试探 \(x_{\text{temp}} = [0.0+0.5, 3.0] = [0.5, 3.0]\)：
    \(f(x_{\text{temp}}) = (0.5-2)^4 + (0.5-6)^2 = 38.0625 + 30.25 = 68.3125\)
    当前 \(f(x^{(0)}) = (0-2)^4 + (0-6)^2 = 16 + 36 = 52\)，函数值上升，试探失败。
    反向试探 \(x_{\text{temp}} = [0.0-0.5, 3.0] = [-0.5, 3.0]\)：
    \(f = (-2.5)^4 + (-0.5-6)^2 = 39.0625 + 42.25 = 81.3125\)，失败。保持 \(x_1\) 不变。
  - 沿 \(d_2\) 方向试探 \(x_{\text{temp}} = [0.0, 3.0+0.5] = [0.0, 3.5]\)：
    \(f = (0-2)^4 + (0-7)^2 = 16 + 49 = 65\)，失败。
    反向试探 \(x_{\text{temp}} = [0.0, 3.0-0.5] = [0.0, 2.5]\)：
    \(f = 16 + (0-5)^2 = 16 + 25 = 41 < 52\)，成功！更新临时点为 \([0.0, 2.5]\)。
  - 探索移动得到新点 \(x^{(1)}_{\text{explore}} = [0.0, 2.5]\)，\(f = 41\)。
- 步骤2：模式移动
  模式方向 \(p = x^{(1)}_{\text{explore}} - x^{(0)} = [0.0, -0.5]\)
  加速点 \(x^{(1)}_{\text{pattern}} = x^{(1)}_{\text{explore}} + p = [0.0, 2.0]\)
  \(f = 16 + (0-4)^2 = 16 + 16 = 32 < 41\)，模式移动成功。
  更新基点 \(x^{(1)} = [0.0, 2.0]\)。
第2轮迭代（步长 \(\delta = 0.5\) 不变）
- 探索移动（从 \(x^{(1)} = [0.0, 2.0]\)）
  - 沿 \(d_1\) 正方向：\([0.5, 2.0]\), \(f = (0.5-2)^4 + (0.5-4)^2 = 5.0625 + 12.25 = 17.3125 < 32\)，成功。
  - 沿 \(d_2\) 正方向：\([0.5, 2.5]\), \(f = 5.0625 + (0.5-5)^2 = 5.0625 + 20.25 = 25.3125 > 17.3125\)，失败。
    负方向：\([0.5, 1.5]\), \(f = 5.0625 + (0.5-3)^2 = 5.0625 + 6.25 = 11.3125 < 17.3125\)，成功。
    探索结果 \(x^{(2)}_{\text{explore}} = [0.5, 1.5]\)，\(f = 11.3125\)。
- 模式移动
  方向 \(p = [0.5, 1.5] - [0.0, 2.0] = [0.5, -0.5]\)
  加速点 \(x^{(2)}_{\text{pattern}} = [0.5, 1.5] + [0.5, -0.5] = [1.0, 1.0]\)
  \(f = (1-2)^4 + (1-2)^2 = 1 + 1 = 2 < 11.3125\)，成功。更新基点 \(x^{(2)} = [1.0, 1.0]\)。
后续迭代
- 第3轮探索移动从 \([1.0, 1.0]\) 开始，\(f = 2\)。
  沿 \(d_1\) 正方向试探 \([1.5, 1.0]\)：\(f = (1.5-2)^4 + (1.5-2)^2 = 0.0625 + 0.25 = 0.3125 < 2\)，成功。
  继续探索可能失败，但模式移动将指向更优区域。
- 当步长 \(\delta\) 经多次失败后缩减至 \(\delta < 10^{-3}\) 时终止。
  最终解接近理论最优解 \(x^* = [2.0, 1.0]\)，\(f = 0\)。
关键点总结
- 探索移动保证局部收敛性，模式移动利用函数特征加速搜索。
- 步长缩减策略平衡全局探索与局部精细搜索。
- 本例中模式方向有效利用目标函数的山谷状形态，快速逼近最优解。

非线性规划中的Hooke-Jeeves模式搜索法基础题题目描述考虑非线性规划问题：最小化 \( f(x)1, x_ 2) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 1 - 2x_ 2)^2 \) 初始点取为 \( x^{(0)} = [ 0.0, 3.0 ] \)，允许误差 \( \epsilon = 10^{-3} \)。使用Hooke-Jeeves模式搜索法求解该问题，要求详细展示迭代过程。解题过程算法原理 Hooke-Jeeves法由探索移动和模式移动交替进行：探索移动：从当前基点 \( x^{(k)} \) 出发，沿坐标轴方向进行试探步长搜索（固定步长 \( \delta \)），若目标函数下降则更新临时点。模式移动：若探索移动成功，沿当前基点与前一基点的连线方向（模式方向）进行加速搜索，步长按比例扩展。迭代终止条件为步长 \( \delta < \epsilon \)。参数设置初始步长 \( \delta = 0.5 \)，缩减因子 \( \alpha = 0.5 \)（若探索失败则缩小步长）。坐标方向集 \( d_ 1 = [ 1,0] \), \( d_ 2 = [ 0,1 ] \)。迭代详解第1轮迭代步骤1：探索移动（从基点 \( x^{(0)} = [ 0.0, 3.0] \）沿 \( d_ 1 \) 方向试探 \( x_ {\text{temp}} = [ 0.0+0.5, 3.0] = [ 0.5, 3.0 ] \)： \( f(x_ {\text{temp}}) = (0.5-2)^4 + (0.5-6)^2 = 38.0625 + 30.25 = 68.3125 \) 当前 \( f(x^{(0)}) = (0-2)^4 + (0-6)^2 = 16 + 36 = 52 \)，函数值上升，试探失败。反向试探 \( x_ {\text{temp}} = [ 0.0-0.5, 3.0] = [ -0.5, 3.0 ] \)： \( f = (-2.5)^4 + (-0.5-6)^2 = 39.0625 + 42.25 = 81.3125 \)，失败。保持 \( x_ 1 \) 不变。沿 \( d_ 2 \) 方向试探 \( x_ {\text{temp}} = [ 0.0, 3.0+0.5] = [ 0.0, 3.5 ] \)： \( f = (0-2)^4 + (0-7)^2 = 16 + 49 = 65 \)，失败。反向试探 \( x_ {\text{temp}} = [ 0.0, 3.0-0.5] = [ 0.0, 2.5 ] \)： \( f = 16 + (0-5)^2 = 16 + 25 = 41 < 52 \)，成功！更新临时点为 \( [ 0.0, 2.5 ] \)。探索移动得到新点 \( x^{(1)}_ {\text{explore}} = [ 0.0, 2.5 ] \)，\( f = 41 \)。步骤2：模式移动模式方向 \( p = x^{(1)} {\text{explore}} - x^{(0)} = [ 0.0, -0.5 ] \) 加速点 \( x^{(1)} {\text{pattern}} = x^{(1)}_ {\text{explore}} + p = [ 0.0, 2.0 ] \) \( f = 16 + (0-4)^2 = 16 + 16 = 32 < 41 \)，模式移动成功。更新基点 \( x^{(1)} = [ 0.0, 2.0 ] \)。第2轮迭代（步长 \( \delta = 0.5 \) 不变）探索移动（从 \( x^{(1)} = [ 0.0, 2.0 ] \)）沿 \( d_ 1 \) 正方向：\( [ 0.5, 2.0] \), \( f = (0.5-2)^4 + (0.5-4)^2 = 5.0625 + 12.25 = 17.3125 < 32 \)，成功。沿 \( d_ 2 \) 正方向：\( [ 0.5, 2.5 ] \), \( f = 5.0625 + (0.5-5)^2 = 5.0625 + 20.25 = 25.3125 > 17.3125 \)，失败。负方向：\( [ 0.5, 1.5] \), \( f = 5.0625 + (0.5-3)^2 = 5.0625 + 6.25 = 11.3125 < 17.3125 \)，成功。探索结果 \( x^{(2)}_ {\text{explore}} = [ 0.5, 1.5 ] \)，\( f = 11.3125 \)。模式移动方向 \( p = [ 0.5, 1.5] - [ 0.0, 2.0] = [ 0.5, -0.5 ] \) 加速点 \( x^{(2)}_ {\text{pattern}} = [ 0.5, 1.5] + [ 0.5, -0.5] = [ 1.0, 1.0 ] \) \( f = (1-2)^4 + (1-2)^2 = 1 + 1 = 2 < 11.3125 \)，成功。更新基点 \( x^{(2)} = [ 1.0, 1.0 ] \)。后续迭代第3轮探索移动从 \( [ 1.0, 1.0 ] \) 开始，\( f = 2 \)。沿 \( d_ 1 \) 正方向试探 \( [ 1.5, 1.0] \)：\( f = (1.5-2)^4 + (1.5-2)^2 = 0.0625 + 0.25 = 0.3125 < 2 \)，成功。继续探索可能失败，但模式移动将指向更优区域。当步长 \( \delta \) 经多次失败后缩减至 \( \delta < 10^{-3} \) 时终止。最终解接近理论最优解 \( x^* = [ 2.0, 1.0 ] \)，\( f = 0 \)。关键点总结探索移动保证局部收敛性，模式移动利用函数特征加速搜索。步长缩减策略平衡全局探索与局部精细搜索。本例中模式方向有效利用目标函数的山谷状形态，快速逼近最优解。