非线性规划中的序列随机优化方法基础题 题目描述：考虑非线性规划问题 min f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)²，其中 x ∈ ℝ²。使用序列随机优化方法求解该问题，要求找到全局最小值点。 解题过程： 问题分析 目标函数 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² 是一个非凸函数，存在多个局部极值点。序列随机优化方法通过生成随机样本序列并逐步改进来寻找全局最优解。 算法初始化 设置参数：样本大小 N=50，精英样本数 m=10，最大迭代次数 T=100 初始采样：在搜索空间 [ -5,5]×[ -5,5 ] 内均匀随机生成50个点 计算所有初始点的函数值，选择最好的10个作为精英样本 迭代过程（以第k次迭代为例）： a) 采样阶段：以当前精英样本为中心，采用高斯分布生成新样本 新样本 x_ new = x_ elite + σ·ε，其中 ε ∼ N(0,I)，σ=0.5为步长参数 生成40个新样本，加上10个精英样本，共50个样本 b) 评估排序：计算所有50个样本的函数值，按升序排列 记录当前最优解：x* = argmin f(x) c) 选择更新：选择函数值最小的10个样本作为新的精英样本集 动态调整步长：如果连续3次迭代最优解无改进，将σ缩小为0.8σ 收敛判断 当满足以下条件之一时停止迭代： 迭代次数达到T=100 最优解变化量 ||x*_ new - x*_ old|| < 10⁻⁶ 步长σ < 10⁻⁴ 结果分析 理论全局最优解为 x* =(2,1)，f(x* )=0 算法预期在20-30次迭代后收敛到近似最优解 由于随机性，每次运行结果略有差异，但应接近真实最优解 算法特点 避免陷入局部最优：随机采样有助于跳出局部极值点 自适应搜索：通过调整步长平衡探索与利用 简单易实现：不需要梯度信息，适用于不可导函数 这个方法通过序列化的随机采样和选择机制，逐步向全局最优解逼近。