高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数积分中的应用 题目描述 计算量子力学中一维谐振子基态波函数与位置算子平方的期望值积分： \[ \langle x^2 \rangle = \int_ {-\infty}^{\infty} \psi_ 0(x) \, x^2 \, \psi_ 0(x) \, dx \] 其中基态波函数为 \(\psi_ 0(x) = \frac{1}{\pi^{1/4}} e^{-x^2/2}\)，积分区间为 \((-\infty, +\infty)\)。要求使用高斯-埃尔米特求积公式进行数值计算，并分析其高效性。 解题过程 问题化简 将波函数表达式代入积分： \[ \langle x^2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_ {-\infty}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx \] 这里利用 \(\psi_ 0(x)\) 的平方形式化简被积函数，指数部分合并为 \(e^{-x^2}\)，并提取常数系数。 高斯-埃尔米特求积公式介绍 公式适用于积分 \(\int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx\)，其数值近似为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \] 其中 \(x_ i\) 是 \(n\) 次埃尔米特多项式 \(H_ n(x)\) 的根（节点），\(w_ i\) 为对应权重。本例中 \(f(x) = x^2\) 恰好匹配公式标准形式。 节点与权重的选择 对于 \(n=2\) 的情况： 节点：\(x_ 1 = -\frac{1}{\sqrt{2}},\ x_ 2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)（由 \(H_ 2(x)=4x^2-2\) 的根求得） 权重：\(w_ 1 = w_ 2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)（通过正交性计算得到） 选择 \(n=2\) 的原因是 \(f(x)=x^2\) 为二次多项式，而 \(2n-1=3\) 次代数精度可精确积分二次函数。 数值计算 代入公式： \[ \langle x^2 \rangle \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_ {i=1}^2 w_ i f(x_ i) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left[ \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \right ] = \frac{1}{2} \] 计算中 \(f(x_ i)=x_ i^2=\frac{1}{2}\)，权重求和后恰得精确值。 高效性分析 精确性 ：高斯型公式对 \(2n-1\) 次以下多项式精确成立，本例仅需 \(n=2\) 即得精确值（解析解为 \(1/2\)）。 对比其他方法 ：若用复合梯形法需密集节点覆盖无穷区间，而高斯-埃尔米特公式直接利用指数衰减权重，避免区间截断误差。 物理意义 ：谐振子基态能量对应的 \(\langle x^2 \rangle\) 体现涨落，高斯型积分与波函数的高斯形式本质契合。 关键点总结 高斯-埃尔米特公式天然匹配无穷区间上的高斯衰减型积分。 通过选择合适节点数，可对多项式被积函数实现机器精度结果。 在量子力学中，此类方法可推广至激发态波函数或更高阶算子的期望值计算。