非线性规划中的精确罚函数法基础题

题目描述：
考虑非线性规划问题：
minimize f(x) = x₁² + x₂²
subject to g(x) = x₁ + x₂ - 1 = 0
使用精确罚函数法求解该问题，其中罚函数形式为 P(x) = f(x) + μ|g(x)|，μ为罚参数。

解题过程：

1. 问题分析
   我们有一个简单的二次目标函数和线性等式约束。精确罚函数法的特点是当罚参数μ足够大时，罚函数的最优解就是原约束问题的最优解。

2. 构造精确罚函数
   精确罚函数为：P(x) = x₁² + x₂² + μ|x₁ + x₂ - 1|

3. 分区域讨论
   由于含有绝对值项，我们需要分两个区域讨论：

区域1：x₁ + x₂ - 1 ≥ 0
此时罚函数为：P₁(x) = x₁² + x₂² + μ(x₁ + x₂ - 1)

区域2：x₁ + x₂ - 1 < 0
此时罚函数为：P₂(x) = x₁² + x₂² - μ(x₁ + x₂ - 1)

4. 分别求解两个区域的无约束极小值

在区域1中：
∂P₁/∂x₁ = 2x₁ + μ = 0 ⇒ x₁ = -μ/2
∂P₁/∂x₂ = 2x₂ + μ = 0 ⇒ x₂ = -μ/2
代入约束条件检验：-μ/2 - μ/2 - 1 = -μ - 1 < 0（因为μ>0）
这与区域1的假设x₁+x₂-1≥0矛盾，所以区域1无解。

在区域2中：
∂P₂/∂x₁ = 2x₁ - μ = 0 ⇒ x₁ = μ/2
∂P₂/∂x₂ = 2x₂ - μ = 0 ⇒ x₂ = μ/2
代入约束条件检验：μ/2 + μ/2 - 1 = μ - 1
当μ ≥ 1时，满足区域2假设；当μ < 1时，不满足区域2假设。

5. 边界点分析
   在边界x₁+x₂-1=0上，我们需要单独考虑。将约束代入目标函数：
   x₂ = 1 - x₁
   f(x) = x₁² + (1-x₁)² = 2x₁² - 2x₁ + 1
   df/dx₁ = 4x₁ - 2 = 0 ⇒ x₁ = 0.5, x₂ = 0.5
   此时f(x) = 0.5

6. 结果分析
   当μ ≥ 1时，罚函数在区域2的极小点为(μ/2, μ/2)，函数值为P = μ²/2 - μ(μ-1) = -μ²/2 + μ
   当μ → +∞时，该点趋近于边界，但函数值趋近于-∞，这不是我们期望的结果。

7. 修正分析
   重新检查区域2的极值点：当μ ≥ 1时，点(μ/2, μ/2)不在区域2内（因为μ-1≥0，不满足x₁+x₂-1<0），所以区域2内无驻点。

8. 正确解法
   由于两个区域内部都无极小值点，极小值必然出现在边界x₁+x₂=1上。用拉格朗日乘子法求解原问题：
   L(x,λ) = x₁² + x₂² + λ(x₁+x₂-1)
   ∂L/∂x₁ = 2x₁ + λ = 0
   ∂L/∂x₂ = 2x₂ + λ = 0
   x₁+x₂ = 1
   解得：x₁ = x₂ = 0.5, λ = -1

对于精确罚函数法，当μ > |λ| = 1时，罚函数的最小点就是原问题的最优解(0.5, 0.5)。

9. 验证
   当μ > 1时，精确罚函数在(0.5, 0.5)处取得最小值0.5，这正是原问题的最优解。