QR分解法求矩阵特征值 题目描述 给定一个n×n矩阵A，要求计算它的所有特征值。QR分解法是一种通过迭代将矩阵收敛到上三角矩阵（或Schur形式）来求解特征值的方法，其基本思想是利用QR分解构造一个相似变换序列，使矩阵逐步对角化。 解题过程 基本原理 特征值问题：求标量λ和非零向量v，满足Av = λv。 QR分解法通过迭代公式：Aₖ = QₖRₖ（QR分解），Aₖ₊₁ = RₖQₖ（重新组合），构造序列{Aₖ}。 每一步迭代都是相似变换：Aₖ₊₁ = QₖᵀAₖQₖ，因此特征值保持不变。 当Aₖ收敛到上三角矩阵时，对角线元素即为特征值。 算法步骤 步骤1：初始化 设A₀ = A，迭代计数器k = 0。 步骤2：QR分解 对当前矩阵Aₖ进行QR分解，得到正交矩阵Qₖ和上三角矩阵Rₖ，满足Aₖ = QₖRₖ。 例如，使用Householder变换或Givens旋转实现分解。 步骤3：矩阵更新 计算Aₖ₊₁ = RₖQₖ。注意顺序不能颠倒（先R后Q）。 步骤4：收敛判断 检查Aₖ₊₁是否接近上三角形式（非对角线元素足够小）。若未收敛，令k = k+1，返回步骤2；否则进入步骤5。 步骤5：提取特征值 从收敛后的上三角矩阵Aₖ₊₁的对角线读取特征值。 示例说明 以矩阵A = [ [ 2, 1], [ 1, 2] ]为例： 第一次迭代： QR分解：A₀ = Q₀R₀，其中Q₀ ≈ [ [ 0.894, -0.447], [ 0.447, 0.894]]，R₀ ≈ [ [ 2.236, 1.342], [ 0, 1.342] ]。 更新：A₁ = R₀Q₀ ≈ [ [ 2.5, 0.5], [ 0.5, 1.5] ]。 第二次迭代后A₂ ≈ [ [ 2.8, 0.2], [ 0.2, 1.2] ]，非对角线元素减小。 多次迭代后Aₖ收敛到[ [ 3, 0], [ 0, 1] ]，特征值为3和1。 关键细节 收敛性 ：对于可对角化矩阵，若特征值满足|λ₁| > |λ₂| > ... > |λₙ|，算法收敛；重复特征值或接近的特征值可能减慢收敛。 加速技巧 ：实际中常结合位移策略（如单步位移、双步位移）加速收敛，避免直接使用基本QR算法。 计算效率 ：每次迭代需O(n³)操作，通常先通过Hessenberg化将矩阵化为上Hessenberg形式，使QR分解降为O(n²)操作。 应用场景 适用于中小规模稠密矩阵的特征值计算。 是MATLAB等软件中 eig 函数的核心组成部分之一。 通过以上步骤，QR分解法将特征值问题转化为迭代相似变换过程，最终通过对角线元素直接读取解。