SM2椭圆曲线公钥密码算法

题目描述：
SM2算法是中国国家密码管理局于2010年发布的椭圆曲线公钥密码算法标准，用于实现数字签名、密钥交换和公钥加密。请详细讲解SM2数字签名算法的完整过程，包括系统参数设置、密钥生成、签名生成和签名验证四个核心步骤，特别要解释其中使用的特定哈希函数和椭圆曲线运算原理。

解题过程：

一、系统参数设置
SM2算法基于椭圆曲线密码学，首先需要确定一组公开的系统参数：

1. 选择一个有限域Fq（q为一个大素数）
2. 确定椭圆曲线方程：y² = x³ + ax + b (mod q)
3. 选择曲线上的一个基点G = (xG, yG)，其阶为n（大素数）
4. 确定余因子h（通常h=1）
5. 选择哈希函数Hv( )，SM2采用SM3哈希算法，输出长度为256位

二、密钥生成

1. 随机生成私钥d：在区间[1, n-2]中随机选择一个整数d
2. 计算公钥P：P = d × G（椭圆曲线上的点乘运算）
   • 通过标量乘法计算d个G点相加的结果
   • 公钥P是椭圆曲线上的一个点(xP, yP)

三、签名生成过程
假设用户A要对消息M进行签名，持有私钥dA：

1. 计算哈希值e = Hv(Z_A || M)

   • Z_A是用户A的哈希标识值，包含用户身份信息
   • || 表示拼接操作
   • SM3哈希函数将变长输入压缩为256位输出

2. 生成随机数k：在区间[1, n-1]中随机选择k

3. 计算椭圆曲线点(x₁, y₁) = k × G

   • 这是椭圆曲线上的点乘运算

4. 计算r = (e + x₁) mod n

   • 如果r=0或r+k=n，则返回第2步重新选择k

5. 计算s = ((1 + dA)⁻¹ × (k - r × dA)) mod n

   • (1+dA)⁻¹表示模n下的乘法逆元
   • 如果s=0，则返回第2步重新选择k

6. 输出数字签名(r, s)

四、签名验证过程
验证者B收到消息M和签名(r, s)，需要验证签名的有效性：

1. 检查r和s是否在区间[1, n-1]内

   • 如有任一不在范围内，则验证失败

2. 计算哈希值e' = Hv(Z_A || M)

   • 使用与签名生成相同的哈希计算方法

3. 计算t = (r + s) mod n

   • 检查t≠0，若t=0则验证失败

4. 计算椭圆曲线点(x₁', y₁') = s × G + t × P_A

   • P_A是签名者A的公钥
   • 这是两个点乘运算的结果进行点加

5. 计算R = (e' + x₁') mod n

   • x₁'是计算得到的点的x坐标

6. 验证R是否等于r

   • 如果R ≡ r (mod n)，则签名有效；否则无效

五、算法安全性分析
SM2的安全性基于椭圆曲线离散对数问题的难解性：

• 从公钥P和基点G推导私钥d需要解决ECDLP问题
• 签名中的随机数k必须不可预测，否则会泄露私钥
• SM3哈希函数提供抗碰撞性，保证消息不可篡改

关键特点：

1. 中国国家密码算法标准，具有自主知识产权
2. 256位安全性相当于RSA-2048的安全强度
3. 计算效率高于传统RSA算法
4. 包含完整的数字签名、密钥交换和加密功能