谱聚类（Spectral Clustering）算法的原理与实现步骤 题目描述 谱聚类是一种基于图论的聚类算法，其核心思想是将数据集视为图中的节点，利用数据点之间的相似度构建图结构，再通过图的谱（特征值）分析对数据进行降维，最终在低维空间中使用传统聚类方法（如K-means）完成聚类。与K-means等基于欧氏距离的算法不同，谱聚类擅长处理非球形分布、嵌套状或流形结构的数据。 解题过程 构建相似度图 将每个数据点看作图的一个节点，计算任意两点间的相似度（如高斯核函数）： \( W_ {ij} = \exp\left(-\frac{\|x_ i - x_ j\|^2}{2\sigma^2}\right) \)，其中 \( \sigma \) 控制邻域宽度。 根据相似度构建邻接矩阵 \( W \)，常用方法包括： \(\epsilon\)-近邻图：仅保留相似度大于阈值 \(\epsilon\) 的边。 \(k\)-近邻图：每个节点仅连接与其最相似的 \(k\) 个节点。 计算拉普拉斯矩阵 度矩阵 \( D \)：对角矩阵，对角线元素 \( D_ {ii} = \sum_ j W_ {ij} \) 表示节点的连接强度。 拉普拉斯矩阵 \( L \) 通常采用归一化形式： \( L = I - D^{-1/2} W D^{-1/2} \)（对称归一化拉普拉斯矩阵）。 特征分解与降维 对 \( L \) 进行特征分解，选取最小的 \( k \) 个特征值对应的特征向量（\( k \) 为目标聚类数）。 将这些特征向量按列排列成矩阵 \( U \in \mathbb{R}^{n \times k} \)，每一行代表原数据点在低维空间中的嵌入。 低维空间聚类 对矩阵 \( U \) 的行向量进行标准化：\( U_ {ij} = \frac{U_ {ij}}{\sqrt{\sum_ k U_ {ik}^2}} \)。 使用K-means算法对标准化后的行向量聚类，得到最终的簇划分。 关键点说明 拉普拉斯矩阵的特征值反映了图的连通性：最小特征值为0，其重数等于图中连通分量的数量。 归一化拉普拉斯矩阵能消除节点度分布不均的影响，提升对复杂形状数据的适应性。 谱聚类的核心优势在于通过谱嵌入将数据转换到更易分离的低维空间，从而突破原始数据分布的局限性。