基于Krylov子空间的FOM算法解线性方程组
字数 2330 2025-10-28 20:05:13

基于Krylov子空间的FOM算法解线性方程组

题目描述
考虑求解大型稀疏非对称线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 为非对称矩阵，\(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\) 为已知向量。当矩阵 \(A\) 的维度 \(n\) 非常大时，直接法（如LU分解）因计算量和存储需求高而不再适用。FOM（Full Orthogonalization Method）是一种基于Krylov子空间的投影方法，通过将原问题投影到低维Krylov子空间上，转化为一个小规模线性方程组进行求解。

解题过程

  1. 构建Krylov子空间
    FOM算法的核心是构建Krylov子空间 \(\mathcal{K}_m(A, \mathbf{r}_0)\)，其中 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\) 为初始残差（\(\mathbf{x}_0\) 为初始猜测，通常取 \(\mathbf{x}_0 = \mathbf{0}\)），\(m \ll n\) 为子空间维度。该子空间定义为：

\[ \mathcal{K}_m(A, \mathbf{r}_0) = \text{span}\{\mathbf{r}_0, A\mathbf{r}_0, A^2\mathbf{r}_0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_0\}. \]

其一组基向量可通过Arnoldi过程（一种正交化方法）得到，确保基向量正交且单位化。

  1. Arnoldi过程生成正交基

    • 初始化：令 \(\mathbf{v}_1 = \mathbf{r}_0 / \|\mathbf{r}_0\|_2\)。
    • 迭代计算（对 \(j = 1, 2, \dots, m\)）：
      a. 计算 \(\mathbf{w}_j = A\mathbf{v}_j\)。
      b. 对 \(k = 1\) 到 \(j\)，计算正交化系数 \(h_{k,j} = \mathbf{v}_k^\top \mathbf{w}_j\)，并执行正交化： \(\mathbf{w}_j \leftarrow \mathbf{w}_j - h_{k,j}\mathbf{v}_k\)。
      c. 令 \(h_{j+1,j} = \|\mathbf{w}_j\|_2\)，若 \(h_{j+1,j} = 0\) 则提前终止。
      d. 生成新基向量 \(\mathbf{v}_{j+1} = \mathbf{w}_j / h_{j+1,j}\)。
      最终得到正交矩阵 \(V_m = [\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m] \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 和上Hessenberg矩阵 \(H_m \in \mathbb{R}^{m \times m}\)，满足 \(AV_m = V_m H_m + h_{m+1,m}\mathbf{v}_{m+1}\mathbf{e}_m^\top\)，其中 \(\mathbf{e}_m\) 为单位向量。

  2. 投影求解
    FOM要求近似解 \(\mathbf{x}_m\) 满足残差正交于Krylov子空间，即 \(\mathbf{r}_m \perp \mathcal{K}_m(A, \mathbf{r}_0)\)。设 \(\mathbf{x}_m = \mathbf{x}_0 + V_m \mathbf{y}_m\)（\(\mathbf{y}_m \in \mathbb{R}^m\)），代入残差公式并利用正交性可得：

\[ V_m^\top (\mathbf{b} - A(\mathbf{x}_0 + V_m \mathbf{y}_m)) = \mathbf{0} \implies V_m^\top A V_m \mathbf{y}_m = V_m^\top \mathbf{r}_0. \]

由Arnoldi过程性质知 \(V_m^\top A V_m = H_m\) 且 \(V_m^\top \mathbf{r}_0 = \|\mathbf{r}_0\|_2 \mathbf{e}_1\)，因此问题转化为求解小规模线性方程组：

\[ H_m \mathbf{y}_m = \|\mathbf{r}_0\|_2 \mathbf{e}_1. \]

解出 \(\mathbf{y}_m\) 后，代入 \(\mathbf{x}_m = \mathbf{x}_0 + V_m \mathbf{y}_m\) 即得近似解。

  1. 收敛性与重启策略
    • 若 \(h_{m+1,m} = 0\)，则FOM在 \(m\) 步后得到精确解。
    • 对于大型问题，子空间维度 \(m\) 需限制以避免存储开销。若未收敛，可采用重启策略：用当前 \(\mathbf{x}_m\) 作为新初始猜测，重新构建Krylov子空间迭代。

总结
FOM通过Arnoldi过程将高维问题投影到低维正交子空间，利用Hessenberg矩阵的特性简化求解。其优势在于适用于稀疏非对称矩阵，且无需显式存储大型矩阵，但需注意重启策略以平衡计算效率与精度。

基于Krylov子空间的FOM算法解线性方程组 题目描述 考虑求解大型稀疏非对称线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 为非对称矩阵，\( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \) 为已知向量。当矩阵 \( A \) 的维度 \( n \) 非常大时，直接法（如LU分解）因计算量和存储需求高而不再适用。FOM（Full Orthogonalization Method）是一种基于Krylov子空间的投影方法，通过将原问题投影到低维Krylov子空间上，转化为一个小规模线性方程组进行求解。 解题过程 构建Krylov子空间 FOM算法的核心是构建Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ m(A, \mathbf{r}_ 0) \)，其中 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \) 为初始残差（\( \mathbf{x}_ 0 \) 为初始猜测，通常取 \( \mathbf{x}_ 0 = \mathbf{0} \)），\( m \ll n \) 为子空间维度。该子空间定义为： \[ \mathcal{K}_ m(A, \mathbf{r}_ 0) = \text{span}\{\mathbf{r}_ 0, A\mathbf{r}_ 0, A^2\mathbf{r}_ 0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_ 0\}. \] 其一组基向量可通过Arnoldi过程（一种正交化方法）得到，确保基向量正交且单位化。 Arnoldi过程生成正交基 初始化：令 \( \mathbf{v}_ 1 = \mathbf{r}_ 0 / \|\mathbf{r}_ 0\|_ 2 \)。 迭代计算（对 \( j = 1, 2, \dots, m \)）： a. 计算 \( \mathbf{w}_ j = A\mathbf{v} j \)。 b. 对 \( k = 1 \) 到 \( j \)，计算正交化系数 \( h {k,j} = \mathbf{v}_ k^\top \mathbf{w}_ j \)，并执行正交化： \( \mathbf{w}_ j \leftarrow \mathbf{w} j - h {k,j}\mathbf{v} k \)。 c. 令 \( h {j+1,j} = \|\mathbf{w} j\| 2 \)，若 \( h {j+1,j} = 0 \) 则提前终止。 d. 生成新基向量 \( \mathbf{v} {j+1} = \mathbf{w} j / h {j+1,j} \)。 最终得到正交矩阵 \( V_ m = [ \mathbf{v} 1, \dots, \mathbf{v} m] \in \mathbb{R}^{n \times m} \) 和上Hessenberg矩阵 \( H_ m \in \mathbb{R}^{m \times m} \)，满足 \( AV_ m = V_ m H_ m + h {m+1,m}\mathbf{v} {m+1}\mathbf{e}_ m^\top \)，其中 \( \mathbf{e}_ m \) 为单位向量。 投影求解 FOM要求近似解 \( \mathbf{x}_ m \) 满足残差正交于Krylov子空间，即 \( \mathbf{r}_ m \perp \mathcal{K}_ m(A, \mathbf{r}_ 0) \)。设 \( \mathbf{x}_ m = \mathbf{x}_ 0 + V_ m \mathbf{y}_ m \)（\( \mathbf{y}_ m \in \mathbb{R}^m \)），代入残差公式并利用正交性可得： \[ V_ m^\top (\mathbf{b} - A(\mathbf{x}_ 0 + V_ m \mathbf{y}_ m)) = \mathbf{0} \implies V_ m^\top A V_ m \mathbf{y}_ m = V_ m^\top \mathbf{r}_ 0. \] 由Arnoldi过程性质知 \( V_ m^\top A V_ m = H_ m \) 且 \( V_ m^\top \mathbf{r}_ 0 = \|\mathbf{r}_ 0\|_ 2 \mathbf{e}_ 1 \)，因此问题转化为求解小规模线性方程组： \[ H_ m \mathbf{y}_ m = \|\mathbf{r}_ 0\|_ 2 \mathbf{e}_ 1. \] 解出 \( \mathbf{y}_ m \) 后，代入 \( \mathbf{x}_ m = \mathbf{x}_ 0 + V_ m \mathbf{y}_ m \) 即得近似解。 收敛性与重启策略 若 \( h_ {m+1,m} = 0 \)，则FOM在 \( m \) 步后得到精确解。 对于大型问题，子空间维度 \( m \) 需限制以避免存储开销。若未收敛，可采用重启策略：用当前 \( \mathbf{x}_ m \) 作为新初始猜测，重新构建Krylov子空间迭代。 总结 FOM通过Arnoldi过程将高维问题投影到低维正交子空间，利用Hessenberg矩阵的特性简化求解。其优势在于适用于稀疏非对称矩阵，且无需显式存储大型矩阵，但需注意重启策略以平衡计算效率与精度。