双步隐式位移QR算法计算一般矩阵特征值

题目描述
双步隐式位移QR算法是一种高效计算一般矩阵特征值的数值方法。该方法通过将矩阵转化为上Hessenberg形式，然后应用带位移的双步QR迭代，在保持矩阵稀疏性的同时快速收敛到实Schur形式，从而得到全部特征值。与单步QR算法相比，双步隐式位移策略有效避免了复数运算，且每次迭代只需O(n²)计算量。

解题过程

步骤1：矩阵预处理（上Hessenberg化）

• 目标：将原始矩阵A转化为上Hessenberg形式H（即当i>j+1时h_ij=0），减少后续迭代的计算量。
• 方法：通过Householder变换实现：
  1. 对k=1到n-2列依次处理：
     • 选取第k列下方元素构造Householder向量v_k
     • 应用变换：H ← P_k·A·P_k^T（其中P_k = I - 2v_kv_k^T）
  2. 最终得到H = Q^T A Q，其中Q是正交矩阵的乘积

步骤2：双步位移策略设计

• 问题：单步位移需计算复数位移时会产生复数运算
• 解决方案：使用连续两个单步位移的隐式组合：
  1. 取H的右下角2×2子矩阵的特征值μ₁, μ₂作为位移
  2. 构造实系数多项式：p(H) = (H - μ₁I)(H - μ₂I)
  3. 关键洞察：直接计算p(H)会破坏稀疏性，但可通过隐式Q定理避免

步骤3：隐式QR迭代的核心操作

1. 初始化扰动向量：

   • 计算v = p(H)e₁ = (H - μ₁I)(H - μ₂I)的第一列
   • 仅需计算前三个非零元素（因H是上Hessenberg矩阵）

2. 引入第一组Givens旋转：

   • 构造Givens旋转G₁使G₁v的第二元素归零
   • 应用相似变换：H ← G₁HG₁^T
   • 此时H的Hessenberg形式在(3,1)位置产生"凸起"(bulge)

3. 凸起追逐(bulge chasing)：

   • 对k=2到n-1依次执行：
     a) 构造Givens旋转G_k消去凸起（位于k+1, k-1位置）
     b) 应用右乘G_k：H ← HG_k（在k和k+1列引入非零元素）
     c) 应用左乘G_k^T：H ← G_k^T H（恢复Hessenberg形式至k+1行）
     d) 凸起位置下移一行
   • 最终凸起被逐出矩阵，恢复完整上Hessenberg形式

步骤4：收敛判断与特征值提取

1. 检查次对角线元素h_{i+1,i}：

   • 若|h_{i+1,i}| < ε(|h_{ii}| + |h_{i+1,i+1}|)则视为零
   • 矩阵可分解为对角块，递归处理更小矩阵

2. 最终得到实Schur形式：

   • 对角线是1×1（实特征值）或2×2块（共轭复特征值）
   • 通过解2×2块的特征方程得复数特征值

算法特性：

• 隐式操作避免显式形成p(H)，保持数值稳定性
• 每次迭代复杂度O(n²)，显著优于显式QR的O(n³)
• 通过隐式Q定理保证与显式双步QR算法的等价性