龙贝格积分法的外推加速技术 题目描述 使用龙贝格积分法计算定积分 ∫₀¹ sin(x²)dx 的近似值，要求达到精度 10⁻⁶。详细解释龙贝格积分法中的外推加速技术原理，以及如何通过理查森外推将复合梯形公式的低精度近似逐步提升为高精度结果。 解题过程 1. 问题分析与基础公式 我们需要计算 I = ∫₀¹ sin(x²)dx。这个被积函数在区间 [ 0,1 ] 上光滑，适合用龙贝格积分法。 首先回顾复合梯形公式： Tₙ = h/2 [ f(a) + 2∑ₖ₌₁ⁿ⁻¹ f(a+kh) + f(b) ]，其中 h = (b-a)/n 2. 龙贝格积分法的核心原理 龙贝格积分法的关键思想是通过理查森外推，将低阶精度的梯形公式近似值逐步提升为高阶精度的近似值。 第一步：构建梯形序列 我们通过不断加密分割来构建梯形公式的近似序列： T₁ = (1-0)/2 × [ sin(0²) + sin(1²)] = 0.5 × [ 0 + sin(1) ] ≈ 0.420735 将区间二分：h = 0.5 T₂ = 0.5/2 × [ sin(0) + 2sin(0.5²) + sin(1)] = 0.25 × [ 0 + 2sin(0.25) + sin(1)] ≈ 0.25 × [ 0.494 + 0.841 ] ≈ 0.333875 再次二分：h = 0.25 T₄ = 0.25/2 × [ sin(0) + 2sin(0.25²) + 2sin(0.5²) + 2sin(0.75²) + sin(1) ] ≈ 0.314967 第二步：理查森外推技术 梯形公式的误差展开式为： I = T(h) + α₁h² + α₂h⁴ + α₃h⁶ + ... 利用这个展开式，我们可以通过不同步长的组合来消去低阶误差项。 第一次外推（消去h²项） ： T(h)和T(h/2)满足： I = T(h) + α₁h² + α₂h⁴ + ... I = T(h/2) + α₁(h/2)² + α₂(h/2)⁴ + ... 将第一式乘以4，减去第二式： 4I - I = 4T(h) - T(h/2) + (4α₁h² - α₁h²/4) + ... 3I = 4T(h) - T(h/2) + O(h⁴) ∴ I = [ 4T(h/2) - T(h) ]/3 + O(h⁴) 这样就得到了辛普森公式（精度O(h⁴)）。 第三步：构建龙贝格表 我们将外推过程系统化，构建龙贝格表： | k | hₖ | Tₖ,₀ | Tₖ,₁ | Tₖ,₂ | Tₖ,₃ | |---|----|------|------|------|------| | 0 | 1 | 0.420735 | | | | | 1 | 1/2| 0.333875 | 0.304732 | | | | 2 | 1/4| 0.314967 | 0.309038 | 0.308443 | | | 3 | 1/8| 0.311029 | 0.308425 | 0.308416 | 0.308415 | 计算过程： T₀,₀ = 0.420735 T₁,₀ = 0.333875 T₁,₁ = (4×T₁,₀ - T₀,₀)/3 = (4×0.333875 - 0.420735)/3 = 0.304732 T₂,₀ = 0.314967 T₂,₁ = (4×T₂,₀ - T₁,₀)/3 = (4×0.314967 - 0.333875)/3 = 0.309038 T₂,₂ = (16×T₂,₁ - T₁,₁)/15 = (16×0.309038 - 0.304732)/15 = 0.308443 继续这个过程直到满足精度要求 第四步：通用外推公式 龙贝格积分法的通用递推公式为： Tₖ,ₘ = (4ᵐTₖ,ₘ₋₁ - Tₖ₋₁,ₘ₋₁)/(4ᵐ - 1) 其中Tₖ,₀是步长为hₖ = (b-a)/2ᵏ的梯形公式近似值。 第五步：收敛判断 当|Tₖ,ₖ - Tₖ₋₁,ₖ₋₁| < ε（要求的精度）时停止计算。 在我们的例子中，T₃,₃ = 0.308415，与精确值非常接近。 总结 龙贝格积分法通过系统化的外推技术，将低精度的梯形公式近似逐步提升为高精度结果。这种方法充分利用了不同步长近似值之间的内在联系，以较小的计算代价获得了很高的精度。