非线性规划中的自适应网格搜索算法基础题 题目描述 考虑一个二维非线性规划问题： 最小化目标函数 \( f(x, y) = (x - 2)^4 + (x - 2y)^2 \) 满足约束条件： \( x^2 + y^2 \leq 1 \) \( x \geq 0, y \geq 0 \) 要求使用自适应网格搜索算法，在初始网格精度为0.5的情况下，进行两轮自适应优化，找到近似最优解。 解题过程 自适应网格搜索算法的核心思想是：先在整个可行域上生成均匀网格，评估网格点的目标函数值，找到当前最优解；然后以该点为中心收缩搜索范围并提高网格密度，重复过程直至满足精度要求。 步骤1: 初始化网格参数 可行域定义：由约束 \( x^2 + y^2 \leq 1 \) 和 \( x, y \geq 0 \) 可知，搜索空间为第一象限的单位圆扇形。 初始网格精度（步长）\( \delta = 0.5 \)。 生成初始网格点：在 \( x \in [ 0, 1] \), \( y \in [ 0, 1 ] \) 的矩形区域内（覆盖可行域），以步长0.5取点，得到网格点集合： \((0,0), (0,0.5), (0,1), (0.5,0), (0.5,0.5), (0.5,1), (1,0), (1,0.5)\)。 注意：(1,1) 不满足 \( x^2 + y^2 \leq 1 \)，故排除。 步骤2: 第一轮网格搜索 计算每个网格点的目标函数值： \( f(0,0) = (0-2)^4 + (0-0)^2 = 16 \) \( f(0,0.5) = 16 + (0-1)^2 = 17 \) \( f(0,1) = 16 + (0-2)^2 = 20 \) \( f(0.5,0) = (0.5-2)^4 + (0.5-0)^2 = ( -1.5)^4 + 0.25 = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 \) \( f(0.5,0.5) = ( -1.5)^4 + (0.5-1)^2 = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 \) \( f(0.5,1) = 5.0625 + (0.5-2)^2 = 5.0625 + 2.25 = 7.3125 \) \( f(1,0) = (1-2)^4 + (1-0)^2 = 1 + 1 = 2 \) \( f(1,0.5) = 1 + (1-1)^2 = 1 \) 当前最优解为 \((1,0.5)\)，对应 \( f = 1 \)。 步骤3: 第二轮网格自适应 以第一轮的最优点 \((1,0.5)\) 为中心，收缩搜索范围：取 \( x \in [ 0.5, 1] \), \( y \in [ 0.25, 0.75 ] \)（范围半径减半）。 网格精度提高至 \( \delta/2 = 0.25 \)，生成新网格点： \((0.5,0.25), (0.5,0.5), (0.5,0.75), (0.75,0.25), (0.75,0.5), (0.75,0.75), (1,0.25), (1,0.5), (1,0.75)\)。 排除不满足约束的点：检查 \( x^2 + y^2 \leq 1 \)，发现 \((0.5,0.75)\): \( 0.25+0.5625=0.8125 \leq 1 \) 可行；\((0.75,0.75)\): \( 0.5625+0.5625=1.125 >1 \) 不可行，排除。 计算剩余点的函数值： \( f(0.5,0.25) = 5.0625 + (0.5-0.5)^2 = 5.0625 \) \( f(0.5,0.5) = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 \) \( f(0.5,0.75) = 5.0625 + (0.5-1.5)^2 = 5.0625 + 1 = 6.0625 \) \( f(0.75,0.25) = (0.75-2)^4 + (0.75-0.5)^2 = ( -1.25)^4 + 0.0625 = 2.4414 + 0.0625 ≈ 2.5039 \) \( f(0.75,0.5) = 2.4414 + (0.75-1)^2 = 2.4414 + 0.0625 ≈ 2.5039 \) \( f(1,0.25) = 1 + (1-0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 \) \( f(1,0.5) = 1 \) \( f(1,0.75) = 1 + (1-1.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 \) 第二轮最优解仍为 \((1,0.5)\)，\( f = 1 \)。 结论 经过两轮自适应搜索，最优解为 \((1,0.5)\)，目标函数值 \( f = 1 \)。该点位于约束边界 \( x^2 + y^2 = 1 \) 上，且接近理论最优解（实际理论解需进一步分析，但自适应网格法已给出较优近似）。