高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数积分中的应用

题目描述
计算量子力学中一维谐振子的期望值积分：

\[\langle x^4 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_2(x) \, x^4 \, \psi_2(x) \, dx \]

其中 \(\psi_2(x) = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2}} (2\alpha x^2 - 1) e^{-\alpha x^2 / 2}\) 是第二激发态波函数（\(n=2\)），\(\alpha = m\omega / \hbar\) 为常数。要求利用高斯-埃尔米特求积公式高效计算该积分。

解题过程

1. 问题分析
   • 积分区间为 \((-\infty, \infty)\)，被积函数包含指数项 \(e^{-\alpha x^2}\)，与高斯-埃尔米特求积公式的权重函数 \(e^{-x^2}\) 形式相似。
   • 目标是通过变量替换将积分化为标准高斯-埃尔米特形式：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-x^2} dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]

 其中 $x_i$ 和 $w_i$ 是公式的节点和权重。

2. 变量替换标准化
   • 令 \(t = \sqrt{\alpha} x\)，则 \(dx = dt / \sqrt{\alpha}\)。
   • 波函数化简：

\[ \psi_2(x) = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2}} (2t^2 - 1) e^{-t^2 / 2} \]

• 积分变为：

\[ \langle x^4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/2} \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} (2t^2 - 1)^2 \cdot \left( \frac{t^4}{\alpha^2} \right) e^{-t^2} dt \]

 注意 $x^4 = t^4 / \alpha^2$，且 $e^{-\alpha x^2} = e^{-t^2}$。

3. 整理被积函数
   • 展开 \((2t^2 - 1)^2 = 4t^4 - 4t^2 + 1\)，乘以 \(t^4\) 得：

\[ (4t^8 - 4t^6 + t^4) / \alpha^2 \]

• 提取常数项：系数合并为 \(\frac{1}{2\alpha^{5/2}\sqrt{\pi}}\)。
• 积分标准形式：

\[ \langle x^4 \rangle = \frac{1}{2\alpha^{5/2}\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (4t^8 - 4t^6 + t^4) e^{-t^2} dt \]

4. 应用高斯-埃尔米特求积公式
   • 选择节点数 \(n\)：被积函数最高次项为 \(t^8\)，因此需 \(n \geq 5\)（公式对 \(2n-1\) 次多项式精确）。
   • 查表或计算 \(n=5\) 的节点 \(t_i\) 和权重 \(w_i\)（例如 \(t_1=-2.02, t_2=-0.96, \ldots\)）。
   • 计算近似值：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} (4t^8 - 4t^6 + t^4) e^{-t^2} dt \approx \sum_{i=1}^5 w_i (4t_i^8 - 4t_i^6 + t_i^4) \]

5. 误差与验证
   • 解析解为 \(\langle x^4 \rangle = \frac{15}{4\alpha^2}\)（通过厄米多项式正交性可得）。
   • 对比数值结果：若 \(n=5\)，计算结果应与解析解一致（因被积函数为多项式，公式精确）。
   • 若 \(n<5\)，误差随节点数减少而增大。

关键点总结

• 高斯-埃尔米特公式通过指数权重匹配无穷区间积分。
• 变量替换将物理参数 \(\alpha\) 吸收，使问题标准化。
• 节点数的选择由被积函数的多项式次数决定，确保精确性。