自适应辛普森积分法的误差控制与递归实现
题目描述
自适应辛普森积分法是一种通过递归细分和误差估计自动调整积分精度的数值积分方法。其核心思想是：在函数变化剧烈的区域使用更小的步长（更密集的节点），在函数平滑的区域使用较大的步长，从而在保证精度的同时减少计算量。题目要求实现该算法的递归流程，并设计误差控制机制。
解题过程
- 基础辛普森公式
对于区间 \([a, b]\) 上的积分 \(I = \int_a^b f(x)dx\)，基础辛普森公式为：
\[ S(a, b) = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right]. \]
该公式利用二次多项式逼近函数，其截断误差为 \(-\frac{(b-a)^5}{2880} f^{(4)}(\xi)\)，其中 \(\xi \in (a, b)\)。
- 误差估计策略
将区间 \([a, b]\) 平均分为两个子区间 \([a, m]\) 和 \([m, b]\)（其中 \(m = (a+b)/2\)），分别应用辛普森公式后求和：
\[ S(a, m) + S(m, b) = \frac{b-a}{12} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+m}{2}\right) + 2f(m) + 4f\left(\frac{m+b}{2}\right) + f(b) \right]. \]
通过比较 \(S(a, b)\) 与 \(S(a, m) + S(m, b)\) 的差异来估计误差：
\[ E = \left| S(a, b) - \left[ S(a, m) + S(m, b) \right] \right|. \]
理论分析表明，该误差满足 \(E \approx \frac{1}{15} \left| S(a, m) + S(m, b) - S(a, b) \right|\)，因此可设误差容限为 \(\epsilon\)，若 \(E < \epsilon\)，则接受当前结果；否则递归细分区间。
- 递归实现步骤
- 输入：函数 \(f\)、区间端点 \(a, b\)、容差 \(\epsilon\)、当前深度 \(d\)（防无限递归）。
- 计算：
- \(m = (a+b)/2\)，
- \(S_{\text{total}} = S(a, b)\)，
- \(S_{\text{left}} = S(a, m)\)， \(S_{\text{right}} = S(m, b)\)，
- \(E = |S_{\text{total}} - (S_{\text{left}} + S_{\text{right}})| / 15\)。
- 判断：
- 若 \(E \leq \epsilon\)，返回 \(S_{\text{left}} + S_{\text{right}}\) 作为积分近似值；
- 否则，递归计算左右子区间：
\[ \text{result} = \text{AdaptiveSimpson}(f, a, m, \epsilon/2, d-1) + \text{AdaptiveSimpson}(f, m, b, \epsilon/2, d-1). \]
注意容差 $\epsilon$ 在递归时减半，以确保整体误差可控。
- 终止条件优化
为避免过度细分，需设置最小步长限制或最大递归深度。例如，当区间长度 \(|b-a|\) 小于机器精度相关阈值时终止递归。
总结
自适应辛普森法通过动态调整局部精度，平衡计算效率与误差控制，特别适合被积函数变化不均匀的场景。递归实现需注意误差分配与终止条件，以避免栈溢出或无效计算。