高斯-埃尔米特求积公式在量子力学谐振子波函数积分中的应用
题目描述
在量子力学中，谐振子的波函数涉及形如 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx\) 的积分，其中 \(f(x)\) 是多项式函数（例如波函数的期望值计算）。试利用高斯-埃尔米特求积公式设计一种数值方法，精确计算积分 \(I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left( x^4 - 2x^2 + 1 \right) \, dx\)，并分析节点数 \(n\) 对精度的影响。
解题过程
- 理解高斯-埃尔米特求积公式
- 公式针对权重函数 \(w(x) = e^{-x^2}\) 的无穷区间积分：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中 $x_i$ 是埃尔米特多项式 $H_n(x)$ 的根（节点），$w_i$ 是对应的权重。
- 关键性质：当 \(f(x)\) 是次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式时，公式给出精确结果。
-
分析被积函数
- 给定 \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) 是 4 次多项式。
- 根据精度要求：若节点数 \(n\) 满足 \(2n-1 \geq 4\)（即 \(n \geq 3\)），则公式可精确积分。
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选择节点与权重
- 对于 \(n=3\)，埃尔米特多项式 \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\) 的根为：
\[ x_1 = -\sqrt{\frac{3}{2}},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \sqrt{\frac{3}{2}} \]
对应权重由公式 $w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2}$ 计算：
\[ w_1 = w_3 = \frac{\sqrt{\pi}}{6},\quad w_2 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \]
- 数值计算
- 将节点和权重代入求和公式：
\[ I \approx w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) + w_3 f(x_3) \]
- 计算 \(f(x_i)\)：
- \(f(x_1) = f\left(-\sqrt{3/2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot\frac{3}{2} + 1 = 0.25\)
- \(f(x_2) = f(0) = 1\)
- \(f(x_3) = f\left(\sqrt{3/2}\right) = 0.25\)
- 求和：
\[ I \approx \frac{\sqrt{\pi}}{6} \cdot 0.25 + \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \cdot 1 + \frac{\sqrt{\pi}}{6} \cdot 0.25 = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \]
- 与精确解对比
- 通过解析计算可得精确值：
\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^4 \, dx - 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^2 \, dx + \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \]
与 $n=3$ 的结果完全一致，验证了公式的精确性。
- 节点数影响分析
- 若 \(n=2\)（精度上限为 3 次多项式），则无法精确积分 4 次多项式，结果会有误差。
- 若 \(n>3\)，公式仍保持精确，但计算量增加，无必要。
结论
高斯-埃尔米特求积公式通过选择合适的节点数（本例中 \(n \geq 3\)），可高效精确计算无穷区间上的特定类型积分，尤其在量子力学谐振子问题中具有直接应用价值。