双步隐式位移QR算法计算一般矩阵特征值 题目描述 双步隐式位移QR算法是计算一般矩阵（非对称矩阵）全部特征值的高效数值方法。它通过迭代将矩阵逐步转化为拟上三角矩阵（实Schur形式），从而直接读取特征值。与单步QR算法相比，双步隐式技术避免了复数运算，且能加速收敛。核心问题：给定一个n×n实矩阵A，如何通过双步隐式位移QR迭代稳定地求出其特征值？ 关键思路 预处理 ：先将矩阵通过Hessenberg分解化为上Hessenberg矩阵（次对角线以下全为零），减少后续运算量。 位移策略 ：每次迭代选取两个位移量（通常为当前矩阵右下角2×2子矩阵的特征值），以加速收敛。 隐式处理 ：通过特殊变换（如Bulge Chase）直接更新矩阵，避免显式计算复数或矩阵乘法。 解题步骤详解 步骤1：矩阵预处理（Hessenberg化） 目标：将原矩阵A转化为上Hessenberg矩阵H（即当i > j+1时，h_ ij = 0）。 方法：通过Householder反射子（或Givens旋转）逐步消去每列下方的非零元素。 作用：保持特征值不变，但使后续QR迭代的运算量从O(n³)降为O(n²)。 步骤2：双步位移策略 设当前迭代的Hessenberg矩阵为H_ k。 计算位移量：取H_ k右下角2×2子矩阵[ [ h_ {n-1,n-1}, h_ {n-1,n}], [ h_ {n,n-1}, h_ {n,n}] ]的两个特征值σ₁和σ₂（可能是实数或共轭复数）。 双步位移的思想：连续进行两次QR迭代（H_ k - σ₁I = Q₁R₁, H^{(1)} = R₁Q₁ + σ₁I；H^{(1)} - σ₂I = Q₂R₂, H_ {k+1} = R₂Q₂ + σ₂I），但合并为一步计算以避免复数运算。 步骤3：隐式QR迭代（Bulge Chase） 初始变换 ： 计算向量v = (H - σ₁I)(H - σ₂I)e₁（e₁为第一标准基向量），仅前三个分量非零。 构造一个3×3的Householder反射子P₀，使得P₀v平行于e₁。 将P₀扩展到n×n矩阵，并应用到H：H ← P₀HP₀ᵀ。此操作在左上角引入一个“凸起”（Bulge），破坏Hessenberg结构。 追迹消去（Chasing the Bulge） ： 目标：通过一系列正交相似变换，将凸起沿对角线向下推移，直到矩阵恢复为上Hessenberg形式。 过程： 对每个位置j=1,2,...,n-2： 构造一个3×3的Householder反射子P_ j，消去凸起中的非零元素。 将P_ j应用到H的行和列（H ← P_ jHP_ jᵀ），使凸起移动到(j+1, j+2)位置。 最终凸起被推出矩阵右下角，H恢复为上Hessenberg矩阵H_ {k+1}。 步骤4：收敛判断与特征值提取 检查次对角线元素：若|h_ {i+1,i}| ≈ 0，则可解耦为更小的子矩阵。 终止条件：所有次对角线元素趋于零（达到机器精度）。 结果：最终矩阵是拟上三角矩阵（实Schur形式），对角块为1×1（实特征值）或2×2（共轭复特征值对）。 特征值直接由对角块计算：1×1块即实特征值；2×2块的特征值为一对共轭复数。 示例说明（3×3矩阵简化过程） 设H = [ [ a, b, c], [ d, e, f], [ 0, g, h] ]（已Hessenberg化）。 计算位移σ₁, σ₂来自右下2×2子矩阵[ [ e, f], [ g, h] ]的特征值。 初始变换：用P₀作用后，H第一列下方出现凸起。 追迹：通过P₁将凸起推到第二列，再通过P₂推到第三列后消失。 新矩阵H_ {k+1}仍为上Hessenberg形式，且更接近拟上三角矩阵。 优势 隐式处理避免复数运算，保证数值稳定性。 双步位移加速收敛，尤其适用于复特征值情况。 总体复杂度为O(n³)，优于直接使用特征多项式。