分治法计算对称三对角矩阵特征值 题目描述 考虑一个n×n的实对称三对角矩阵T，其形式为： T = [ a₁ b₁ 0 ... 0 ] [ b₁ a₂ b₂ ... 0 ] [ 0 b₂ a₃ ... 0 ] [ ... ... ... ... ... ] [ 0 0 0 ... a_ n ] 我们需要计算这个矩阵的所有特征值。分治法是一种高效算法，特别适合并行计算环境。 解题过程 1. 算法核心思想 分治法将大问题分解为小问题：将原三对角矩阵T分解为两个较小的三对角子矩阵加上一个秩1修正项。通过递归求解子矩阵的特征值问题，再组合得到原矩阵的特征值。 2. 矩阵分解步骤 假设n为偶数（奇数时可类似处理），将T分解为： T = [ T₁ 0 ] + ρ·vvᵀ [ 0 T₂ ] 其中： T₁是左上角(n/2)×(n/2)的三对角矩阵 T₂是右下角(n/2)×(n/2)的三对角矩阵 ρ = b_ {n/2}（中间非零元素） v是列向量：v_ {n/2} = 1, v_ {n/2+1} = ±1, 其余为0 具体分解过程： 在位置(n/2, n/2+1)和(n/2+1, n/2)处，原矩阵有元素b_ {n/2}。我们将其表示为： b_ {n/2} = 0 + ρ·(1×1) [ 在T₁和T₂中相应位置设为0 ] 3. 特征值问题的转化 如果T₁和T₂的特征值已知： T₁ = Q₁D₁Q₁ᵀ, T₂ = Q₂D₂Q₂ᵀ 则T可写为： T = [ Q₁ 0][ D₁ 0][ Q₁ᵀ 0 ] + ρ·vvᵀ [ 0 Q₂][ 0 D₂][ 0 Q₂ᵀ ] 令D = diag(D₁, D₂)，Q = diag(Q₁, Q₂)，则有： T = Q(D + ρ·uuᵀ)Qᵀ，其中u = Qᵀv 4. 秩1修正特征值问题 现在问题转化为：已知对角矩阵D的特征值d₁, d₂, ..., dₙ，求矩阵D + ρ·uuᵀ的特征值。 关键定理：矩阵D + ρ·uuᵀ的特征值λ是下面特征方程的根： 1 + ρ·Σ(uᵢ²/(dᵢ - λ)) = 0 5. 特征值计算步骤 对于每个特征值λ： 检查区间(dᵢ, dᵢ₊₁)是否包含特征值 使用牛顿法或二分法求解特征方程 利用函数f(λ) = 1 + ρ·Σ(uᵢ²/(dᵢ - λ))的单调性 6. 算法流程 如果矩阵很小（如n ≤ 25），直接使用QR算法 否则将T分解为T₁, T₂和秩1修正 递归计算T₁和T₂的特征值 组合子问题的解，计算最终特征值 使用特征方程和数值方法定位精确特征值 7. 数值稳定性考虑 需要谨慎处理重特征值情况 使用适当的位移策略提高精度 对u向量进行数值稳定化处理 这种方法的时间复杂度约为O(n²)，比标准的QR算法（O(n³)）更高效，特别适合大规模问题。