EM算法的原理与计算过程

题目描述
EM算法（Expectation-Maximization Algorithm）是一种迭代优化策略，用于解决含有隐变量（latent variables）的概率模型参数估计问题。例如，在聚类问题中，若不知道每个样本属于哪个类别（隐变量），直接使用最大似然估计会无法求解。EM算法通过交替执行E步（期望步）和M步（最大化步）逐步优化参数。本题要求详细解释EM算法的核心思想、数学推导及计算步骤。

解题过程

1. 问题场景与隐变量引入
   • 假设观测数据为 \(X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}\)，其概率分布依赖于参数 \(\theta\)（例如高斯混合模型中的均值和方差）。
   • 若存在未观测的隐变量 \(Z = \{z_1, z_2, ..., z_n\}\)（如样本的类别标签），直接优化似然函数 \(\log P(X|\theta)\) 困难，因为需对 \(Z\) 积分或求和：

\[ \log P(X|\theta) = \log \sum_Z P(X, Z|\theta) \]

• EM算法的核心思想：通过迭代逼近，避免直接处理隐变量。

2. EM算法的推导基础
   • 引入隐变量的分布 \(Q(Z)\)，利用Jensen不等式构造似然函数的下界：

\[ \log P(X|\theta) = \log \sum_Z Q(Z) \frac{P(X, Z|\theta)}{Q(Z)} \geq \sum_Z Q(Z) \log \frac{P(X, Z|\theta)}{Q(Z)} \]

• 当下界与似然函数相等时，需满足 \(Q(Z) = P(Z|X,\theta)\)（即隐变量的后验分布）。
• 算法交替执行以下两步：
  • E步（Expectation）：固定参数 \(\theta^{(t)}\)，计算隐变量的后验分布 \(Q(Z) = P(Z|X,\theta^{(t)})\)，并计算对数似然函数的下界（称为Q函数）：

\[ Q(\theta, \theta^{(t)}) = \mathbb{E}_{Z|X,\theta^{(t)}} [\log P(X, Z|\theta)] \]

 - **M步（Maximization）**：固定 $ Q(Z) $，优化参数以最大化Q函数：  

\[ \theta^{(t+1)} = \arg \max_{\theta} Q(\theta, \theta^{(t)}) \]

3. 具体计算步骤（以高斯混合模型为例）
   • 模型设定：
     • 假设数据由 \(K\) 个高斯分布生成，隐变量 \(z_i \in \{1,2,...,K\}\) 表示样本 \(x_i\) 的类别。
     • 参数 \(\theta = \{\pi_k, \mu_k, \Sigma_k\}_{k=1}^K\)，其中 \(\pi_k\) 为混合系数，满足 \(\sum_{k=1}^K \pi_k = 1\)。
   • E步：
     • 计算每个样本 \(x_i\) 属于类别 \(k\) 的后验概率（责任值 \(\gamma_{ik}\)）：

\[ \gamma_{ik} = \frac{\pi_k \mathcal{N}(x_i|\mu_k, \Sigma_k)}{\sum_{j=1}^K \pi_j \mathcal{N}(x_i|\mu_j, \Sigma_j)} \]

• M步：
  • 更新参数以最大化Q函数：

\[ \pi_k^{(new)} = \frac{\sum_{i=1}^n \gamma_{ik}}{n}, \quad \mu_k^{(new)} = \frac{\sum_{i=1}^n \gamma_{ik} x_i}{\sum_{i=1}^n \gamma_{ik}}, \quad \Sigma_k^{(new)} = \frac{\sum_{i=1}^n \gamma_{ik} (x_i - \mu_k^{(new)})(x_i - \mu_k^{(new)})^T}{\sum_{i=1}^n \gamma_{ik}} \]

• 重复E步和M步直至参数收敛（似然函数变化小于阈值）。

4. 算法特性与注意事项
   • EM算法保证每次迭代后似然函数不下降，但可能收敛到局部最优。
   • 初始值选择影响结果，通常需多次随机初始化以寻找全局最优。
   • 适用于高斯混合模型、隐马尔可夫模型等含隐变量的概率模型。

通过以上步骤，EM算法巧妙地解决了隐变量模型的参数估计问题，成为无监督学习中的重要工具。