高斯-拉盖尔求积公式的误差分析 题目描述 高斯-拉盖尔求积公式用于计算形如 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \) 的积分，其中被积函数包含指数衰减权重 \( e^{-x} \)。该公式通过选取 \( n \) 个节点（拉盖尔多项式的零点）和对应的权重，实现对积分的高精度近似。本题要求分析该求积公式的误差表达式、收敛性及其依赖的因素。 解题过程 1. 误差表达式推导 高斯-拉盖尔求积公式的误差项为： \[ E_ n = \frac{(n!)^2}{(2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (0, \infty) \] 推导依据： 拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 是区间 \( [ 0, \infty) \) 上关于权重函数 \( e^{-x} \) 的正交多项式。 误差公式来源于插值型求积公式的余项，结合拉盖尔多项式的性质（其首项系数为 \( (-1)^n/n ! \)）。 通过将误差与 \( f(x) \) 的 \( 2n \) 阶导数关联，得到上述形式。 关键点 ：误差随 \( n \) 增大而衰减，但衰减速度取决于 \( f^{(2n)}(\xi) \) 的增长性。若 \( f(x) \) 是光滑函数（如多项式），误差迅速趋近于零。 2. 误差的渐近行为 对于固定的 \( n \)，误差的阶为 \( O\left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right) \)。利用斯特林公式（\( n ! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \)）： \[ \frac{(n!)^2}{(2n) !} \sim \frac{2\pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4\pi n} (2n/e)^{2n}} = \frac{\sqrt{\pi n}}{4^n} \] 因此误差渐近满足 \( E_ n \sim \frac{\sqrt{\pi n}}{4^n} f^{(2n)}(\xi) \)。 结论 ：误差以指数速度衰减（分母为 \( 4^n \)），但需注意 \( f^{(2n)}(\xi) \) 可能随 \( n \) 增大而增长（例如 \( f(x) = e^x \) 时误差发散）。 3. 收敛性条件 高斯-拉盖尔公式收敛的充分条件是： \( f(x) \) 在 \( [ 0, \infty) \) 上无限次可微。 \( f(x) \) 的增长速度受控（例如 \( f(x) \) 是多项式或有理函数），避免 \( f^{(2n)}(\xi) \) 的增长压倒 \( 1/4^n \) 的衰减。 反例 ：若 \( f(x) = e^{kx} \) 且 \( k > 1/2 \)，则误差随 \( n \) 增大而发散（因 \( f^{(2n)}(\xi) \) 增长过快）。 4. 实际误差估计 在实际计算中，可通过比较不同 \( n \) 的结果来估计误差： 计算 \( I_ n \)（\( n \) 节点近似值）和 \( I_ {2n} \)（\( 2n \) 节点近似值）。 若 \( |I_ n - I_ {2n}| < \varepsilon \)（预设容差），则认为 \( I_ {2n} \) 足够精确。 原因 ：误差渐近行为表明 \( |I - I_ n| \approx C / 4^n \)，因此 \( |I_ n - I_ {2n}| \approx C(1/4^n - 1/4^{2n}) \propto 1/4^n \)，可作为误差代理。 5. 与其它方法的对比 高斯-拉盖尔公式 ：针对 \( e^{-x} \) 权重优化，节点数少时精度高，但要求 \( f(x) \) 光滑。 复合公式 （如复合梯形法）：需截断积分区间，误差受截断和离散化共同影响。 自适应方法 ：适用于一般权重，但计算成本较高。 适用场景 ：高斯-拉盖尔公式在积分区间为 \( [ 0, \infty) \) 且被积函数包含 \( e^{-x} \) 因子时最优。 总结 高斯-拉盖尔求积公式的误差由 \( f(x) \) 的高阶导数和节点数 \( n \) 共同决定。当 \( f(x) \) 光滑且增长缓慢时，误差以指数速度衰减。实际应用中需通过增加节点数或比较不同精度的结果来控制误差。