高斯-切比雪夫求积公式的稳定性分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式用于计算形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的积分，其节点为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点，权重为常数 \( \pi/n \)。本题要求分析该公式的数值稳定性，包括权重正性、误差传播敏感性以及节点分布对舍入误差的影响。 解题过程 公式回顾 高斯-切比雪夫求积公式的表达式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k), \] 其中节点 \( x_ k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \) 是 \( n \) 阶切比雪夫多项式的零点。权重 \( w_ k = \pi/n \) 为常数。 稳定性定义 数值稳定性指计算过程中舍入误差的累积程度。若舍入误差被控制且不显著放大，则公式稳定。稳定性可通过以下指标分析： 权重正性 ：所有权重 \( w_ k > 0 \) 可避免正负抵消导致的误差放大。 条件数 ：积分公式对函数值 \( f(x_ k) \) 微小扰动的敏感度。 权重正性分析 高斯-切比雪夫公式的权重 \( w_ k = \pi/n \) 恒为正，且权重之和满足 \( \sum w_ k = \pi \)，与精确积分 \( \int_ {-1}^{1} (1/\sqrt{1-x^2}) \, dx = \pi \) 一致。正权重避免了不同符号项相减引起的有效数字损失，这是稳定性的基础。 误差传播分析 设函数值 \( f(x_ k) \) 存在舍入误差 \( \epsilon_ k \)，则总误差为： \[ E_ {\text{round}} = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} \epsilon_ k. \] 若误差 \( \epsilon_ k \) 独立且均值为零、方差为 \( \sigma^2 \)，则误差的方差为： \[ \text{Var}(E_ {\text{round}}) = \left( \frac{\pi}{n} \right)^2 n \sigma^2 = \frac{\pi^2 \sigma^2}{n}. \] 结论 ：误差方差随 \( n \) 增大而衰减，说明公式对随机舍入误差不敏感。 节点分布的影响 节点 \( x_ k \) 在 \( [ -1,1 ] \) 非均匀分布，靠近区间端点更密集。这种分布可能放大端点附近的误差，但权重恒定且正性保障了误差控制。与高斯-勒让德公式相比，切比雪夫公式的常数权重简化了误差传播模型。 条件数计算 积分公式的条件数定义为： \[ \kappa = \frac{\sum |w_ k|}{\left| \sum w_ k \right|} = \frac{n \cdot (\pi/n)}{\pi} = 1. \] 条件数为 1 表明公式对输入扰动最优稳定（条件数越小越稳定）。 与其它公式对比 高斯-勒让德公式：权重非均匀，条件数可能大于 1，稳定性稍弱。 复合梯形公式：权重均匀但精度低，稳定性类似但收敛慢。 高斯-切比雪夫公式在权重正性、条件数方面均表现优异。 实际应用中的稳定性保障 避免在 \( f(x) \) 具有剧烈振荡时使用过大 \( n \)，以免节点密集区累积舍入误差。 对于高精度计算，可采用双精度运算或补偿求和算法进一步抑制误差。 总结 高斯-切比雪夫求积公式因权重恒正、条件数为 1，具有最优数值稳定性。其误差随节点数增加而衰减，适用于需长期计算的积分问题（如迭代求解微分方程中的积分项）。