DBSCAN聚类算法的原理与实现步骤 题目描述 DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度的聚类算法，能够发现任意形状的簇，并有效识别噪声点。与K-means不同，DBSCAN无需预设簇数量，而是通过数据分布的紧密程度划分簇。假设某数据集包含分布不均匀的样本点，其中部分区域密度高（簇核心），部分区域密度低（边界或噪声），要求使用DBSCAN将数据划分为簇，并解释其过程。 解题过程 1. 核心概念定义 DBSCAN通过两个参数控制聚类效果： ε（eps） ：邻域半径，定义点的邻域范围。 MinPts ：最小点数，表示在ε邻域内需包含的最少点数。 基于这两个参数，点被分为三类： 核心点（Core Point） ：在ε邻域内至少包含MinPts个点（包括自身）。 边界点（Border Point） ：自身非核心点，但落在某个核心点的ε邻域内。 噪声点（Noise Point） ：既非核心点也非边界点的点。 2. 邻域与密度直达 点A的 ε邻域 是以A为中心、半径为ε的圆形区域内的所有点。 若点B在点A的ε邻域内，且A是核心点，则称B从A 密度直达 。密度直达关系具有方向性（仅核心点能密度直达其他点）。 3. 密度可达与密度相连 密度可达 ：若存在点链A→P₁→P₂→...→B，其中每个点均从前者密度直达，则A密度可达B（传递性）。 密度相连 ：若存在点C，使得A和B均从C密度可达，则A和B密度相连（对称性）。 簇的定义 ：由密度相连关系的最大点集构成，簇内至少包含一个核心点。 4. 算法步骤 步骤1：初始化 标记所有点为未访问（unvisited）。 初始化簇编号 cluster_id = 0 。 步骤2：遍历点并判断核心点 随机选择一个未访问点P，计算其ε邻域内的点数。 若点数 < MinPts，标记P为噪声点（后续可能被重新分类为边界点）。 若点数 ≥ MinPts，将P标记为核心点，并创建一个新簇（ cluster_id 增加），将P加入该簇。 步骤3：扩展簇 遍历P的ε邻域内所有点，若某点Q未访问，则递归检查其是否为核心点： 若Q是核心点，将其邻域内所有点加入当前簇（避免重复访问）。 若Q是噪声点，将其重新标记为边界点并加入当前簇。 重复此过程直到P的密度可达点全部被处理。 步骤4：终止条件 重复步骤2-3，直到所有点被访问。 最终未被归入任何簇的点为噪声点。 5. 实例演示 假设数据集为二维点：A(1,1), B(1,2), C(2,2), D(8,8), E(9,9)，参数ε=1.5, MinPts=3。 A的邻域包含{A,B,C}（3个点≥MinPts），故A为核心点，创建簇C1。 扩展A的邻域：B和C均未访问，B的邻域为{A,B,C}（核心点），C的邻域为{A,B,C}（核心点），全部加入C1。 D的邻域为{D,E}（2点 <MinPts），标记为噪声；E的邻域为{D,E}，同样标记为噪声。 结果：簇C1={A,B,C}，噪声点{D,E}。 6. 参数选择与特点 ε可通过k距离图（ sorted k-NN距离的拐点）选择，MinPts常取维度+1。 优点：无需预设簇数、抗噪声、适应任意形状。 缺点：对密度差异大的簇效果差，高维数据距离计算不稳定。