高斯-拉盖尔求积公式在无穷区间积分中的应用
字数 2117 2025-10-28 08:36:45

高斯-拉盖尔求积公式在无穷区间积分中的应用

题目描述
高斯-拉盖尔求积公式是一种针对无穷区间 \([0, +\infty)\) 上带权重函数 \(e^{-x}\) 的积分的数值方法，其一般形式为：

\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i), \]

其中 \(x_i\) 是拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根（求积节点），\(w_i\) 是对应的权重。本题要求解决以下问题：

  1. 如何将一般无穷区间积分 \(\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx\) 转化为高斯-拉盖尔公式的标准形式？
  2. 如何计算节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)？
  3. 分析该方法的误差特性及适用场景。

解题过程

1. 积分变换
对于一般无穷区间积分 \(\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx\)，需通过变量变换匹配权重函数 \(e^{-x}\)。令：

\[\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \left[ e^{x} g(x) \right] dx. \]

定义 \(f(x) = e^{x} g(x)\)，则原积分化为标准形式：

\[\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx. \]

此时可直接应用高斯-拉盖尔公式：

\[\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) = \sum_{i=1}^{n} w_i e^{x_i} g(x_i). \]

注意：若 \(g(x)\) 衰减速度慢于 \(e^{-x}\)（如 \(g(x)=1/(1+x)\)），直接变换可能因 \(e^{x}g(x)\) 增长而导致数值不稳定，需谨慎验证适用性。

2. 节点与权重的计算

  • 节点：拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 是区间 \([0, \infty)\) 上关于权重 \(e^{-x}\) 的正交多项式，其根 \(x_i\) 为求积节点。例如：

    • \(n=1\) 时，\(L_1(x)=1-x\)，根为 \(x_1=1\)。
    • \(n=2\) 时，\(L_2(x)=x^2-4x+2\)，根为 \(2 \pm \sqrt{2}\)。
      高次多项式的根需通过数值方法（如牛顿迭代）求解。

  • 权重：权重公式为：

\[ w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}. \]

另一种等价形式利用拉盖尔多项式的导数：

\[ w_i = \frac{1}{x_i \left[ L_n'(x_i) \right]^2}. \]

实际计算中，可通过查表或数值库（如 SciPy）直接获取节点和权重。

3. 误差分析
高斯-拉盖尔公式的误差项为：

\[E_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (0, \infty). \]

关键点：

  • 当 \(f(x)\) 是次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式时，误差为零（高斯求积的最高代数精度）。
  • 若 \(g(x)\) 本身衰减较快（如 \(g(x)=e^{-x^2}\)），直接变换后的 \(f(x)=e^{x}g(x)\) 可能光滑性不足，需检查高阶导数是否发散。
  • 适用场景：特别适合被积函数 \(g(x)\) 具有 \(e^{-x}\) 衰减特性的积分（如概率论中的伽马分布期望计算）。若 \(g(x)\) 衰减更慢（如幂函数），可尝试变量替换（如 \(x=t/(1-t)\)）将区间映射到 \([0,1]\)，再使用其他方法。

示例
计算 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(x) \, dx\)（解析解为 \(0.5\)）。

  • 此处 \(g(x)=e^{-x}\cos(x)\)，但权重已匹配，故 \(f(x)=\cos(x)\)。
  • 取 \(n=2\)，节点 \(x_1=2-\sqrt{2} \approx 0.5858\)，\(x_2=2+\sqrt{2} \approx 3.4142\)，权重 \(w_1 \approx 0.8536\)，\(w_2 \approx 0.1464\)。
  • 近似计算：

\[ \sum w_i f(x_i) = 0.8536 \cos(0.5858) + 0.1464 \cos(3.4142) \approx 0.8503 \times 0.833 + 0.1464 \times (-0.963) \approx 0.5. \]

与解析解一致，因 \(\cos(x)\) 的低次多项式成分可被精确积分。

高斯-拉盖尔求积公式在无穷区间积分中的应用 题目描述 高斯-拉盖尔求积公式是一种针对无穷区间 \( [ 0, +\infty)\) 上带权重函数 \(e^{-x}\) 的积分的数值方法，其一般形式为： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \] 其中 \(x_ i\) 是拉盖尔多项式 \(L_ n(x)\) 的根（求积节点），\(w_ i\) 是对应的权重。本题要求解决以下问题： 如何将一般无穷区间积分 \(\int_ {0}^{\infty} g(x) \, dx\) 转化为高斯-拉盖尔公式的标准形式？ 如何计算节点 \(x_ i\) 和权重 \(w_ i\)？ 分析该方法的误差特性及适用场景。 解题过程 1. 积分变换 对于一般无穷区间积分 \(\int_ {0}^{\infty} g(x) \, dx\)，需通过变量变换匹配权重函数 \(e^{-x}\)。令： \[ \int_ {0}^{\infty} g(x) \, dx = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \left[ e^{x} g(x) \right ] dx. \] 定义 \(f(x) = e^{x} g(x)\)，则原积分化为标准形式： \[ \int_ {0}^{\infty} g(x) \, dx = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx. \] 此时可直接应用高斯-拉盖尔公式： \[ \int_ {0}^{\infty} g(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i e^{x_ i} g(x_ i). \] 注意 ：若 \(g(x)\) 衰减速度慢于 \(e^{-x}\)（如 \(g(x)=1/(1+x)\)），直接变换可能因 \(e^{x}g(x)\) 增长而导致数值不稳定，需谨慎验证适用性。 2. 节点与权重的计算 节点 ：拉盖尔多项式 \(L_ n(x)\) 是区间 \( [ 0, \infty)\) 上关于权重 \(e^{-x}\) 的正交多项式，其根 \(x_ i\) 为求积节点。例如： \(n=1\) 时，\(L_ 1(x)=1-x\)，根为 \(x_ 1=1\)。 \(n=2\) 时，\(L_ 2(x)=x^2-4x+2\)，根为 \(2 \pm \sqrt{2}\)。 高次多项式的根需通过数值方法（如牛顿迭代）求解。 权重 ：权重公式为： \[ w_ i = \frac{x_ i}{(n+1)^2 \left[ L_ {n+1}(x_ i) \right ]^2}. \] 另一种等价形式利用拉盖尔多项式的导数： \[ w_ i = \frac{1}{x_ i \left[ L_ n'(x_ i) \right ]^2}. \] 实际计算中，可通过查表或数值库（如 SciPy）直接获取节点和权重。 3. 误差分析 高斯-拉盖尔公式的误差项为： \[ E_ n = \frac{(n!)^2}{(2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (0, \infty). \] 关键点 ： 当 \(f(x)\) 是次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式时，误差为零（高斯求积的最高代数精度）。 若 \(g(x)\) 本身衰减较快（如 \(g(x)=e^{-x^2}\)），直接变换后的 \(f(x)=e^{x}g(x)\) 可能光滑性不足，需检查高阶导数是否发散。 适用场景：特别适合被积函数 \(g(x)\) 具有 \(e^{-x}\) 衰减特性的积分（如概率论中的伽马分布期望计算）。若 \(g(x)\) 衰减更慢（如幂函数），可尝试变量替换（如 \(x=t/(1-t)\)）将区间映射到 \([ 0,1 ]\)，再使用其他方法。 示例 计算 \(\int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cos(x) \, dx\)（解析解为 \(0.5\)）。 此处 \(g(x)=e^{-x}\cos(x)\)，但权重已匹配，故 \(f(x)=\cos(x)\)。 取 \(n=2\)，节点 \(x_ 1=2-\sqrt{2} \approx 0.5858\)，\(x_ 2=2+\sqrt{2} \approx 3.4142\)，权重 \(w_ 1 \approx 0.8536\)，\(w_ 2 \approx 0.1464\)。 近似计算： \[ \sum w_ i f(x_ i) = 0.8536 \cos(0.5858) + 0.1464 \cos(3.4142) \approx 0.8503 \times 0.833 + 0.1464 \times (-0.963) \approx 0.5. \] 与解析解一致，因 \(\cos(x)\) 的低次多项式成分可被精确积分。