图着色问题（贪心算法）
字数 1174 2025-10-28 08:36:45

图着色问题（贪心算法）

题目描述
图着色问题要求为无向图 \(G = (V, E)\) 的每个顶点分配一种颜色，使得任意相邻顶点颜色不同，且使用的颜色总数最小。该问题是NP难问题，但可通过贪心算法快速得到近似解。题目要求：给定一个无向图，用贪心算法给出一种着色方案，并分析其颜色数。

解题过程

1. 问题分析

  • 目标：最小化颜色数 \(k\)，满足相邻顶点颜色不同。
  • 约束：若两个顶点之间有边，则颜色必须相异。
  • 贪心策略：按特定顺序遍历顶点，每次为当前顶点分配可用的最小颜色编号（从1开始）。

2. 算法步骤
步骤1：顶点排序
贪心算法的性能与顶点遍历顺序相关。常见策略包括：

  • 随机顺序：按顶点输入顺序处理。
  • 最大度优先：按顶点度降序处理（Welsh-Powell算法），可能得到更优解。
  • DSatur算法：动态选择饱和度（已邻接的不同颜色数）最大的顶点。

本例采用最大度优先顺序，步骤如下：

  1. 计算每个顶点的度（邻接顶点数）。
  2. 将顶点按度从大到小排序。

步骤2：颜色分配

  1. 初始化颜色数组 color[]，全部设为0（未着色）。
  2. 遍历排序后的顶点列表，对每个顶点 \(v\)：
    • 检查其所有邻接顶点的颜色，标记已使用的颜色。
    • 从颜色1开始递增，找到第一个未被邻接顶点使用的颜色 \(c\)。
    • 将 color[v] 设为 \(c\)。
  3. 最终 color[] 数组即为着色方案，最大颜色值即为所需颜色数。

3. 示例演示
考虑下图（顶点A、B、C、D，边：A-B、B-C、C-D、D-A、A-C）：

  A — B
  | \ |
  D — C

步骤1：顶点排序

  • 度：A(3)、B(2)、C(3)、D(2) → 排序：A、C、B、D。
    步骤2：颜色分配
  • A：邻接顶点无颜色 → 颜色1。
  • C：邻接A（颜色1） → 颜色2。
  • B：邻接A（颜色1）、C（颜色2） → 颜色3。
  • D：邻接A（颜色1）、C（颜色2） → 颜色3。
    结果：A(1)、B(3)、C(2)、D(3)，颜色数=3。
    （注：最优解为3色，此例贪心解为最优。）

4. 算法分析

  • 时间复杂度：排序 \(O(|V|\log|V|)\)，颜色分配需检查每条边 \(O(|E|)\)，总复杂度 \(O(|V|^2)\) 或 \(O(|E| + |V|\log|V|)\)。
  • 最优性：贪心算法最多使用 \(\Delta(G) + 1\) 种颜色（\(\Delta(G)\) 为最大度），但可能超过最小颜色数（色数 \(\chi(G)\)）。
  • 改进：DSatur算法通常优于最大度优先，但实现更复杂。

5. 应用场景

  • 课程表安排：课程为顶点，冲突为边，颜色对应时间段。
  • 寄存器分配：变量为顶点，同时活跃为边，颜色对应寄存器。
  • 频谱分配：基站为顶点，干扰为边，颜色对应频段。
图着色问题（贪心算法） 题目描述 图着色问题要求为无向图 \( G = (V, E) \) 的每个顶点分配一种颜色，使得任意相邻顶点颜色不同，且使用的颜色总数最小。该问题是NP难问题，但可通过贪心算法快速得到近似解。题目要求：给定一个无向图，用贪心算法给出一种着色方案，并分析其颜色数。 解题过程 1. 问题分析 目标：最小化颜色数 \( k \)，满足相邻顶点颜色不同。 约束：若两个顶点之间有边，则颜色必须相异。 贪心策略：按特定顺序遍历顶点，每次为当前顶点分配可用的最小颜色编号（从1开始）。 2. 算法步骤 步骤1：顶点排序 贪心算法的性能与顶点遍历顺序相关。常见策略包括： 随机顺序 ：按顶点输入顺序处理。 最大度优先 ：按顶点度降序处理（Welsh-Powell算法），可能得到更优解。 DSatur算法 ：动态选择饱和度（已邻接的不同颜色数）最大的顶点。 本例采用 最大度优先 顺序，步骤如下： 计算每个顶点的度（邻接顶点数）。 将顶点按度从大到小排序。 步骤2：颜色分配 初始化颜色数组 color[] ，全部设为0（未着色）。 遍历排序后的顶点列表，对每个顶点 \( v \)： 检查其所有邻接顶点的颜色，标记已使用的颜色。 从颜色1开始递增，找到第一个未被邻接顶点使用的颜色 \( c \)。 将 color[v] 设为 \( c \)。 最终 color[] 数组即为着色方案，最大颜色值即为所需颜色数。 3. 示例演示 考虑下图（顶点A、B、C、D，边：A-B、B-C、C-D、D-A、A-C）： 步骤1：顶点排序 度：A(3)、B(2)、C(3)、D(2) → 排序：A、C、B、D。 步骤2：颜色分配 A：邻接顶点无颜色 → 颜色1。 C：邻接A（颜色1） → 颜色2。 B：邻接A（颜色1）、C（颜色2） → 颜色3。 D：邻接A（颜色1）、C（颜色2） → 颜色3。 结果：A(1)、B(3)、C(2)、D(3)，颜色数=3。 （注：最优解为3色，此例贪心解为最优。） 4. 算法分析 时间复杂度：排序 \( O(|V|\log|V|) \)，颜色分配需检查每条边 \( O(|E|) \)，总复杂度 \( O(|V|^2) \) 或 \( O(|E| + |V|\log|V|) \)。 最优性：贪心算法最多使用 \( \Delta(G) + 1 \) 种颜色（\( \Delta(G) \) 为最大度），但可能超过最小颜色数（色数 \( \chi(G) \)）。 改进：DSatur算法通常优于最大度优先，但实现更复杂。 5. 应用场景 课程表安排：课程为顶点，冲突为边，颜色对应时间段。 寄存器分配：变量为顶点，同时活跃为边，颜色对应寄存器。 频谱分配：基站为顶点，干扰为边，颜色对应频段。