xxx 寻找图中的欧拉路径 题目描述 给定一个无向图或有向图，欧拉路径是指一条遍历图中每条边恰好一次的路径。如果路径的起点和终点相同，则称为欧拉回路。你需要设计算法，判断图中是否存在欧拉路径（或欧拉回路），并找出一条具体路径。 关键概念 欧拉路径 ：遍历所有边一次，起点和终点可能不同。 欧拉回路 ：欧拉路径的起点和终点相同。 度（Degree） ：无向图中顶点的边数；有向图中分为入度（In-degree）和出度（Out-degree）。 解题步骤 1. 判断是否存在欧拉路径 无向图条件 ： 欧拉回路 ：所有顶点的度均为偶数。 欧拉路径（非回路） ：恰好有两个顶点的度为奇数（作为起点和终点），其余顶点度均为偶数。 有向图条件 ： 欧拉回路 ：所有顶点的入度等于出度。 欧拉路径（非回路） ：恰好一个顶点出度比入度大1（起点），一个顶点入度比出度大1（终点），其余顶点入度等于出度。 2. 选择起点 若存在欧拉回路，可从任意顶点开始。 若为欧拉路径（非回路），从度数为奇数的顶点（无向图）或出度较大的顶点（有向图）开始。 3. 使用Hierholzer算法构造路径 核心思想 ：通过深度优先搜索（DFS）逐步构造路径，并利用栈回溯处理未遍历的边。 步骤 ： 从起点出发，进行DFS，每次选择一条未访问的边移动到下一顶点，并标记该边为已访问。 当顶点无未访问边时，将其加入路径栈（或链表头部）。 回溯到上一个顶点，继续探索未访问边，直到所有边被遍历。 最终栈中顺序即为逆序的欧拉路径，反转后得到正确顺序（或直接反向输出）。 4. 算法示例（无向图） 假设图如下（顶点A、B、C、D）： 边集：A-B, A-C, B-C, C-D 步骤： 顶点度：A(2偶)、B(2偶)、C(3奇)、D(1奇) → 存在欧拉路径（起点C、终点D）。 从C开始DFS：C→A→B→C（无未访问边，将C加入路径栈：栈=[ C ]）。 回溯到B：B无未访问边，加入栈：[ B, C ]。 回溯到A：A无未访问边，加入栈：[ A, B, C ]。 回溯到C：C仍有未访问边C-D，从C→D（D无未访问边，加入栈：[ D, A, B, C ]）。 路径逆序：C→A→B→C→D。 5. 复杂度分析 时间复杂度：O(E)，其中E为边数。每条边仅遍历一次。 空间复杂度：O(E)存储路径和栈。 总结 通过度数的奇偶性判断可行性，再通过Hierholzer算法高效构造路径，兼顾了正确性和效率。此算法适用于无向图、有向图及混合图（需调整条件）。