最长公共子序列的变种：带限制的最长公共子序列

题目描述
给定三个字符串 s1、s2 和 s3，求 s1 和 s2 的最长公共子序列（LCS），且要求这个公共子序列中必须包含 s3 作为其子序列（即 s3 是 LCS 的一个连续或非连续子序列）。如果不存在满足条件的公共子序列，返回 0。

例如：

• 输入：s1 = "abcde", s2 = "ace", s3 = "ae"
  输出：3（LCS 为 "ace"，包含 "ae"）
• 输入：s1 = "abcde", s2 = "ace", s3 = "af"
  输出：0（LCS "ace" 不包含 "af"）

解题思路
本题是 LCS 的扩展，需在常规 LCS 的动态规划过程中增加对 s3 的约束。我们可以分两步处理：

1. 先求 s1 和 s2 的 LCS（经典 DP）。
2. 检查 LCS 是否包含 s3，但直接提取 LCS 再判断会超时（LCS 可能指数级数量），因此需在 DP 过程中同时追踪与 s3 的匹配情况。

改进方法：
定义三维 DP 数组 dp[i][j][k]：

• 表示 s1 的前 i 个字符、s2 的前 j 个字符的公共子序列中，匹配到 s3 的前 k 个字符时的最长公共子序列长度。
• 若 k = len(s3)，说明已完全包含 s3。

状态转移：

1. 若 s1[i-1] == s2[j-1]：
   • 字符可加入公共子序列，检查它是否与 s3[k] 匹配：
     • 若匹配，则 k 可增加 1：dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1)
     • 无论是否匹配，都可选择不匹配 s3：dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k] + 1)
2. 若字符不相等：
   • 继承 s1 或 s2 缩短一个字符的最大值：dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])

初始化：

• dp[0][j][k] = dp[i][0][k] = -INF（无效值，因为无法从空串匹配非空 s3）
• 例外：k = 0 时，表示尚未开始匹配 s3，此时长度为 0，即 dp[i][j][0] = 0。

最终答案：

• dp[len(s1)][len(s2)][len(s3)]，若为负则返回 0。

详细步骤

1. 定义 DP 数组

   • 维度：(len(s1)+1) x (len(s2)+1) x (len(s3)+1)
   • 初始化所有值为 -10**9（表示不可能状态）。
   • 对于所有 i, j，设 dp[i][j][0] = 0（允许公共子序列不匹配任何 s3 的字符）。

2. 三重循环迭代

   for i in range(1, len(s1)+1):  
     for j in range(1, len(s2)+1):  
       for k in range(0, len(s3)+1):  
         # 情况1：s1[i-1] == s2[j-1]  
         if s1[i-1] == s2[j-1]:  
           # 选项1：当前字符用于匹配 s3 的第 k 个字符（需 k>0 且 s1[i-1]==s3[k-1]）  
           if k > 0 and s1[i-1] == s3[k-1]:  
             dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1)  
           # 选项2：当前字符不用于匹配 s3（即保持 k 不变）  
           dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k] + 1)  
         # 情况2：字符不相等，继承左侧或上侧  
         dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])  
   

3. 结果提取

   • 若 dp[n][m][len(s3)] < 0，说明无法包含完整 s3，返回 0；否则返回该值。

示例验证
以 s1 = "abcde", s2 = "ace", s3 = "ae" 为例：

• 最终状态 dp[5][3][2] 的计算路径：
  • 匹配 'a'（k=1）后，继续匹配 'e'（k=2），得到长度 3。
• 输出 3，符合预期。

该方法确保了在 O(nml) 时间内求解，兼顾了 LCS 和子序列包含约束。