非线性规划中的动态隧道法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( h(x) = x_ 1^2 - x_ 2 = 0 \) 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。 使用动态隧道法（Dynamic Tunneling Method）寻找全局最优解。动态隧道法通过结合局部搜索和隧道阶段，帮助目标函数逃离局部极小点，探索更优解。 解题过程 1. 方法原理概述 动态隧道法分为两个交替阶段： 局部极小化阶段 ：使用梯度类方法（如拟牛顿法）从当前点找到局部极小点。 隧道阶段 ：通过构造隧道函数，从当前局部极小点“跳跃”到另一个区域，避免陷入局部最优。隧道函数利用目标函数变换（如 \( T(x) = [ f(x) - f(x^ )] / \|x - x^ \|^2 \)），在非当前极小点区域产生负值，引导搜索逃离。 2. 初始局部搜索 从 \( x^{(0)} = (0, 0) \) 开始，计算梯度： \( \nabla f(x) = [ 2(x_ 1 - 2), 2(x_ 2 - 1) ] \)，在 \( x^{(0)} \) 处为 \( (-4, -2) \)。 使用约束优化方法（如序列二次规划法）进行局部极小化： 在约束 \( g(x) \leq 0 \) 和 \( h(x) = 0 \) 下，局部搜索收敛到点 \( x^{(1)} = (1, 1) \)，此时 \( f(x^{(1)}) = 2 \)。 验证可行性：\( g(1,1) = 0 \)（满足），\( h(1,1) = 0 \)（满足）。 3. 隧道阶段启动 当前局部极小点为 \( x^{(1)} = (1, 1) \)，目标函数值 \( f^* = 2 \)。构造隧道函数： \( T(x) = \frac{f(x) - f^ }{\|x - x^{(1)}\|^2} = \frac{(x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 - 2}{(x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 1)^2} \)。 目标：找到点 \( x \) 使得 \( T(x) \leq 0 \)（即 \( f(x) \leq f^ \)），且 \( x \) 远离 \( x^{(1)} \)。 求解 \( T(x) = 0 \) 等价于 \( f(x) = 2 \)，但需排除 \( x = x^{(1)} \)。 随机选取方向（如 \( d = (1, 0) \)），沿射线 \( x = x^{(1)} + \lambda d \) 搜索： 代入 \( x = (1 + \lambda, 1) \)，得 \( f(x) = (\lambda - 1)^2 + 0 \)，令 \( f(x) = 2 \) 解得 \( \lambda = 1 \pm \sqrt{2} \)。 取 \( \lambda = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414 \)，得新点 \( x^{(2)} = (3.414, 1) \)。 检查约束：\( g(x^{(2)}) = 4.414 > 0 \)（不可行），但隧道阶段允许暂时违反约束，后续局部阶段再恢复可行性。 4. 二次局部搜索 从 \( x^{(2)} = (3.414, 1) \) 开始局部极小化（考虑约束）： 使用约束优化调整点，收敛到 \( x^{(3)} = (2, 0) \)，此时 \( f(x^{(3)}) = (0)^2 + (-1)^2 = 1 \)。 验证约束：\( g(2,0) = 0 \)（满足），\( h(2,0) = 4 - 0 = 4 \neq 0 \)（不满足）。 继续优化至满足等式约束，最终得到 \( x^{(4)} = (1.553, 0.447) \)，\( f(x^{(4)}) \approx 0.723 \)，优于前一个局部极小点。 5. 迭代与终止 重复隧道阶段和局部阶段： 从 \( x^{(4)} \) 构造隧道函数，寻找更优点。 若隧道阶段无法找到 \( T(x) \leq 0 \) 的点（即无更优解可能），则终止算法，当前点作为全局最优解。 本题中，全局最优解为 \( x^* = (1, 1) \)（但需验证：实际计算发现 \( (1,1) \) 处 \( f=2 \)，而 \( (1.553, 0.447) \) 处 \( f \approx 0.723 \) 更优，说明初始局部搜索未找到全局最优）。 6. 关键点总结 隧道函数帮助跳出局部极小点。 约束处理：隧道阶段可暂时忽略约束，局部阶段严格满足。 动态隧道法适用于多峰问题，但需平衡局部搜索精度和隧道效率。