其中 $x_i$ 是勒让德多项式的根，$w_i$ 为对应权重。例如，7点高斯公式（$n=7$）具有15次代数精度。

高斯-克朗罗德积分法的误差估计与自适应控制 题目描述 高斯-克朗罗德积分法是一种在数值积分中结合高精度计算与误差估计的算法。其核心思想是在高斯求积公式的节点基础上插入新节点，形成更高精度的积分近似值，并利用两组不同精度结果的差异来估计误差。本题要求： 推导高斯-克朗罗德公式的构造过程（以7点高斯公式扩展为15点克朗罗德公式为例）； 解释如何通过两组结果的差值实现误差估计； 说明如何基于误差控制实现自适应积分（如递归划分区间）。 解题过程 高斯求积公式的回顾 对于区间 \([ -1, 1]\) 上的积分 \(\int_ {-1}^{1} f(x) \, dx\)，\(n\) 点高斯求积公式为： \[ G_ n(f) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \] 其中 \(x_ i\) 是勒让德多项式的根，\(w_ i\) 为对应权重。例如，7点高斯公式（\(n=7\)）具有15次代数精度。 克朗罗德节点的插入 克朗罗德（Kronrod）提出在原有高斯节点 \(x_ i\) 之间插入新节点 \(y_ j\)，使总节点数增至 \(2n+1\)（如 \(n=7\) 时扩展为15点）。新节点 \(y_ j\) 需满足： 与原有节点共同构成最高可能代数精度的求积公式； 新公式 \(K_ {2n+1}(f) = \sum_ {i=1}^{n} a_ i f(x_ i) + \sum_ {j=1}^{n+1} b_ j f(y_ j)\) 的代数精度至少为 \(3n+1\)（对于 \(n=7\)，精度可达21次）。 节点 \(y_ j\) 通过求解非线性方程组确定，通常依赖特殊多项式（如克朗罗德扩展多项式）的根。 误差估计方法 定义误差估计值 \(E = |K_ {2n+1}(f) - G_ n(f)|\)。由于 \(K_ {2n+1}\) 精度远高于 \(G_ n\)，其差值可近似视为 \(G_ n\) 的误差。 实际应用中，若 \(E \leq \varepsilon\)（预设容差），则接受 \(K_ {2n+1}\) 作为积分结果；否则将区间分割为子区间递归计算。 自适应控制策略 递归划分 ：若当前区间 \([ a,b]\) 的误差估计 \(E > \varepsilon\)，将区间二等分为 \([ a, c]\) 和 \([ c, b ]\)（\(c=(a+b)/2\)）。 变换到标准区间 ：对每个子区间应用坐标变换 \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\)，将积分化为 \([ -1,1 ]\) 上的形式，再调用高斯-克朗罗德公式。 终止条件 ：当子区间的误差估计满足容差，或区间宽度小于最小阈值时停止递归。 示例说明 以积分 \(I = \int_ {0}^{1} \sin(x^2) \, dx\) 为例： 在 \([ 0,1]\) 上计算 \(G_ 7\) 和 \(K_ {15}\)，若误差 \(E > 10^{-6}\)，将区间分为 \([ 0,0.5]\) 和 \([ 0.5,1 ]\)。 对每个子区间重新计算 \(G_ 7\) 和 \(K_ {15}\)，重复误差判断与分割，直到所有子区间满足精度要求。 最终结果为各子区间 \(K_ {15}\) 的累加值。 关键点 克朗罗德公式的节点插入提升了精度，且复用高斯节点减少计算量。 误差估计无需额外函数求值，高效指导自适应划分。 该方法在QUADPACK等库中广泛用于复杂函数的积分。