xxx 寻找割点（Articulation Points）问题

字数 2085 2025-10-28 00:29:09

xxx 寻找割点（Articulation Points）问题

题目描述：
在一个无向连通图中，如果一个顶点被移除后（同时移除与该顶点相连的所有边），图会变得不连通，那么这个顶点就被称为“割点”或“关节顶点”。寻找割点问题要求找出给定无向连通图中的所有割点。例如，在网络设计中，割点可能代表单点故障，识别它们对提高网络鲁棒性很重要。

解题过程：

我们将使用基于深度优先搜索（DFS）的Tarjan算法来解决这个问题。该算法通过一次DFS遍历就能找出所有割点。

核心概念：

DFS生成树： 从某个根节点开始进行DFS遍历，遍历过程中经过的边构成一棵树，称为DFS生成树。
发现时间（discovery time）： 每个节点在DFS中被首次访问的时间戳，记为disc[u]。
最低访问时间（low value）： 对于节点u，low[u]表示从u出发，通过树边以及一条反向边（即连接到已访问过的祖先节点的边）所能到达的节点的最小发现时间。

算法步骤：

初始化：
- 维护一个全局变量time，用于在DFS中分配时间戳。
- 为每个节点维护两个数组：
  - disc[]: 记录节点的发现时间（初始化为-1，表示未访问）。
  - low[]: 记录节点的low值（初始化为-1）。
- 维护一个parent[]数组，记录DFS树中每个节点的父节点（根节点的父节点为-1）。
- 准备一个布尔数组ap[]（Articulation Point），初始化为false，用于标记节点是否为割点。
DFS遍历：
- 从任意一个未访问的节点开始进行DFS。
- 当访问节点u时：
  a. 设置disc[u] = low[u] = ++time。
  b. 初始化一个变量children，用于记录在DFS树中u的直接子节点数量（仅对根节点判断割点时有用）。
  c. 遍历u的所有邻居v：
  - 如果v未被访问：
  - 设置parent[v] = u。
  - children加1。
  - 递归地对v进行DFS。
  - 递归返回后，更新u的low值：low[u] = min(low[u], low[v])。
  - 检查割点条件：
  - 情况1：u是根节点。如果u是根节点，并且它有至少两个子节点（children >= 2），那么u是割点。因为移除u后，它的各个子树将变得不连通。
  - 情况2：u不是根节点。如果存在u的一个子节点v，使得low[v] >= disc[u]，那么u是割点。这意味着v及其后代无法通过一条反向边“绕开”u而连接到u的祖先。因此，移除u后，v所在的子树将与图的其他部分断开。
  - 如果v已被访问，并且v不是u的父节点（即遇到一条反向边），则更新u的low值：low[u] = min(low[u], disc[v])。这里使用disc[v]而不是low[v]，因为我们是通过一条边直接连接到v。
输出结果：
- 遍历所有节点，所有ap[u]为true的节点u即为图的割点。

举例说明：

考虑一个无向图：顶点集{0,1,2,3}，边集{(0,1), (1,2), (2,3), (3,0)}，这是一个环。我们从节点0开始DFS。

访问节点0：disc[0]=0, low[0]=0，父节点为-1（根节点）。
访问节点0的邻居1：disc[1]=1, low[1]=1, parent[1]=0。
访问节点1的邻居2：disc[2]=2, low[2]=2, parent[2]=1。
访问节点2的邻居3：disc[3]=3, low[3]=3, parent[3]=2。
节点3的邻居是0和2。0已被访问且是父节点（2）的父节点，忽略；2是父节点，忽略。但节点3发现邻居0已被访问，且0不是其父节点（2），这是一条反向边。于是更新low[3] = min(low[3], disc[0]) = min(3,0) = 0。
递归返回到节点2：更新low[2] = min(low[2], low[3]) = min(2,0) = 0。
递归返回到节点1：更新low[1] = min(low[1], low[2]) = min(1,0) = 0。
递归返回到节点0：更新low[0] = min(low[0], low[1]) = min(0,0) = 0。
检查割点：
- 对于根节点0：它只有一个子节点（1），所以不满足children >= 2，不是割点。
- 对于节点1：检查其子节点2，low[2] = 0，disc[1] = 1，0 >= 1？不成立。所以节点1不是割点。
- 同理，节点2和3也不是割点。
结论：这个环图中没有割点。这符合直觉，因为在一个环中移除任何一个节点，剩下的节点依然通过环连接在一起。

总结：
通过一次DFS遍历，利用发现时间和low值，我们可以高效地找出无向图中的所有割点。关键点在于理解low值的含义以及两种割点的判断条件。

xxx 寻找割点（Articulation Points）问题题目描述：在一个无向连通图中，如果一个顶点被移除后（同时移除与该顶点相连的所有边），图会变得不连通，那么这个顶点就被称为“割点”或“关节顶点”。寻找割点问题要求找出给定无向连通图中的所有割点。例如，在网络设计中，割点可能代表单点故障，识别它们对提高网络鲁棒性很重要。解题过程：我们将使用基于深度优先搜索（DFS）的Tarjan算法来解决这个问题。该算法通过一次DFS遍历就能找出所有割点。核心概念： DFS生成树：从某个根节点开始进行DFS遍历，遍历过程中经过的边构成一棵树，称为DFS生成树。发现时间（discovery time）：每个节点在DFS中被首次访问的时间戳，记为 disc[u] 。最低访问时间（low value）：对于节点u， low[u] 表示从u出发，通过树边以及一条反向边（即连接到已访问过的祖先节点的边）所能到达的节点的最小发现时间。算法步骤：初始化：维护一个全局变量 time ，用于在DFS中分配时间戳。为每个节点维护两个数组： disc[] : 记录节点的发现时间（初始化为-1，表示未访问）。 low[] : 记录节点的low值（初始化为-1）。维护一个 parent[] 数组，记录DFS树中每个节点的父节点（根节点的父节点为-1）。准备一个布尔数组 ap[] （Articulation Point），初始化为false，用于标记节点是否为割点。 DFS遍历：从任意一个未访问的节点开始进行DFS。当访问节点u时： a. 设置 disc[u] = low[u] = ++time 。 b. 初始化一个变量 children ，用于记录在DFS树中u的直接子节点数量（仅对根节点判断割点时有用）。 c. 遍历u的所有邻居v： - 如果v未被访问： - 设置 parent[v] = u 。 - children 加1。 - 递归地对v进行DFS。 - 递归返回后，更新u的low值： low[u] = min(low[u], low[v]) 。 - 检查割点条件： - 情况1：u是根节点。如果u是根节点，并且它有至少两个子节点（ children >= 2 ），那么u是割点。因为移除u后，它的各个子树将变得不连通。 - 情况2：u不是根节点。如果存在u的一个子节点v，使得 low[v] >= disc[u] ，那么u是割点。这意味着v及其后代无法通过一条反向边“绕开”u而连接到u的祖先。因此，移除u后，v所在的子树将与图的其他部分断开。 - 如果v已被访问，并且v不是u的父节点（即遇到一条反向边），则更新u的low值： low[u] = min(low[u], disc[v]) 。这里使用 disc[v] 而不是 low[v] ，因为我们是通过一条边直接连接到v。输出结果：遍历所有节点，所有 ap[u] 为true的节点u即为图的割点。举例说明：考虑一个无向图：顶点集{0,1,2,3}，边集{(0,1), (1,2), (2,3), (3,0)}，这是一个环。我们从节点0开始DFS。访问节点0： disc[0]=0 , low[0]=0 ，父节点为-1（根节点）。访问节点0的邻居1： disc[1]=1 , low[1]=1 , parent[1]=0 。访问节点1的邻居2： disc[2]=2 , low[2]=2 , parent[2]=1 。访问节点2的邻居3： disc[3]=3 , low[3]=3 , parent[3]=2 。节点3的邻居是0和2。0已被访问且是父节点（2）的父节点，忽略；2是父节点，忽略。但节点3发现邻居0已被访问，且0不是其父节点（2），这是一条反向边。于是更新 low[3] = min(low[3], disc[0]) = min(3,0) = 0 。递归返回到节点2：更新 low[2] = min(low[2], low[3]) = min(2,0) = 0 。递归返回到节点1：更新 low[1] = min(low[1], low[2]) = min(1,0) = 0 。递归返回到节点0：更新 low[0] = min(low[0], low[1]) = min(0,0) = 0 。检查割点：对于根节点0：它只有一个子节点（1），所以不满足 children >= 2 ，不是割点。对于节点1：检查其子节点2， low[2] = 0 ， disc[1] = 1 ， 0 >= 1 ？不成立。所以节点1不是割点。同理，节点2和3也不是割点。结论：这个环图中没有割点。这符合直觉，因为在一个环中移除任何一个节点，剩下的节点依然通过环连接在一起。总结：通过一次DFS遍历，利用发现时间和low值，我们可以高效地找出无向图中的所有割点。关键点在于理解low值的含义以及两种割点的判断条件。