分治法计算对称三对角矩阵特征值

题目描述
给定一个n×n的实对称三对角矩阵T，要求计算其所有特征值。对称三对角矩阵的形式为：

T = [a₁  b₁   0   ...   0  ]
    [b₁  a₂  b₂   ...   0  ]
    [0   b₂  a₃   ...   0  ]
    [... ... ...  ...  bₙ₋₁]
    [0    0   0   bₙ₋₁ aₙ ]

其中bᵢ ≠ 0。要求使用分治法高效求解该问题。

解题过程

第一步：理解分治法的基本思想
分治法的核心是将大问题分解为小问题。对于对称三对角矩阵，我们可以将其分解为两个更小的对称三对角矩阵，加上一个秩1修正项。

具体分解形式为：
T = [T₁ 0] + ρ·uuᵀ
[0 T₂]

其中：

• T₁是m×m矩阵（通常取m=⌊n/2⌋）
• T₂是(n-m)×(n-m)矩阵
• ρ是一个标量
• u是一个特定的向量

第二步：矩阵的具体分解方法
选择分解点：通常在第k行和第k+1行之间进行分割，其中k=⌊n/2⌋。

分解后的形式为：
T = [T₁ 0] + βₖ·eₖeₖᵀ + βₖ·eₖeₖ₊₁ᵀ + βₖ·eₖ₊₁eₖᵀ + βₖ·eₖ₊₁eₖ₊₁ᵀ
[0 T₂]

可以重写为：
T = [T₁ 0] + βₖ·vvᵀ
[0 T₂]

其中v = eₖ + eₖ₊₁（当分割点在中间时）

第三步：分治法的递归结构

1. 如果矩阵是1×1的，特征值就是矩阵元素本身
2. 否则：
   • 将T分解为T₁和T₂两个子矩阵
   • 递归计算T₁的特征值Λ₁ = diag(λ₁, λ₂, ..., λₘ)
   • 递归计算T₂的特征值Λ₂ = diag(λₘ₊₁, λₘ₊₂, ..., λₙ)
   • 计算秩1修正后的特征值

第四步：特征值计算的关键——特征值方程
分治法最核心的部分是：已知T₁和T₂的特征值后，如何计算T = diag(T₁, T₂) + ρvvᵀ的特征值。

这转化为求解特征值方程：
det(T - λI) = 0

利用矩阵行列式引理，可得特征值满足：
1 + ρ·vᵀ(D - λI)⁻¹v = 0

其中D = diag(T₁, T₂) = diag(d₁, d₂, ..., dₙ)，dᵢ是T₁和T₂的特征值。

第五步：特征值方程的简化
对于特定的v = eₖ + eₖ₊₁，特征值方程简化为：
1 + ρ·(1/(dₖ - λ) + 1/(dₖ₊₁ - λ)) = 0

这可以进一步写为有理函数形式：
f(λ) = 1 + ρ·∑ᵢ vᵢ²/(dᵢ - λ) = 0

第六步：特征值的隔离性质
重要性质：T的特征值严格分离在区间(dᵢ, dᵢ₊₁)中，即每个区间(dᵢ, dᵢ₊₁)中恰好包含T的一个特征值。

这为我们提供了高效的搜索策略：可以在每个区间内使用牛顿法等数值方法求解特征值方程。

第七步：数值求解算法

1. 对每个区间(dᵢ, dᵢ₊₁)，检查端点符号：

   • f(dᵢ⁺) = +∞，f(dᵢ₊₁⁻) = -∞
   • 确保区间内有根

2. 在每个有根的区间内使用牛顿迭代：
   λ⁽ᵏ⁺¹⁾ = λ⁽ᵏ⁾ - f(λ⁽ᵏ⁾)/f'(λ⁽ᵏ⁾)

   其中f'(λ) = ρ·∑ᵢ vᵢ²/(dᵢ - λ)²

第八步：算法复杂度分析

• 每次分治：O(n)时间求解特征值方程
• 递归深度：O(log n)
• 总复杂度：O(n log n)（实际中由于常数因子，对于大n才显优势）

第九步：数值稳定性考虑

• 需要小心处理特征值的多重性
• 当ρ很小时，特征值接近dᵢ，需要特殊处理
• 使用适当的收敛准则和迭代次数限制

这种分治法特别适合并行计算，且在实践中对于大型对称三对角矩阵的特征值计算非常高效。