ElGamal加密算法
字数 2426 2025-10-28 00:29:09

ElGamal加密算法

题目描述：
ElGamal是一种基于离散对数难题的非对称加密算法，由Taher Elgamal于1985年提出。它包含密钥生成、加密和解密三个步骤。假设你需要在有限域上实现ElGamal算法，给定素数 \(p = 23\)、生成元 \(g = 5\)、私钥 \(d = 6\)，以及待加密的明文 \(M = 10\)（需确保 \(M < p\)）。请演示完整的加密和解密过程，并解释其数学原理。

解题过程：

1. 密钥生成

  • 选择系统参数：
    选取大素数 \(p\) 和生成元 \(g\)。生成元需满足：在模 \(p\) 下，\(g\) 的幂运算能生成 \(1\) 到 \(p-1\) 的所有整数。本题已给定 \(p = 23\)，验证 \(g = 5\) 是生成元：
    \(5^1 \bmod 23 = 5, 5^2 \bmod 23 = 2, ..., 5^{22} \bmod 23 = 1\)（需覆盖所有余数，此处省略验证过程）。

  • 生成密钥对：

    • 私钥 \(d\)：随机整数，满足 \(1 < d < p-1\)，本题给定 \(d = 6\)。
    • 公钥 \((p, g, y)\)：计算 \(y = g^d \bmod p\)。
      \(y = 5^6 \bmod 23 = 15625 \bmod 23\)。
      逐步计算：
      \(5^2 \bmod 23 = 25 \bmod 23 = 2\)
      \(5^4 \bmod 23 = (5^2)^2 \bmod 23 = 2^2 \bmod 23 = 4\)
      \(5^6 \bmod 23 = (5^4 \times 5^2) \bmod 23 = (4 \times 2) \bmod 23 = 8\)。
      因此公钥为 \((p=23, g=5, y=8)\)。

2. 加密过程

加密需要公钥 \((p, g, y)\) 和明文 \(M\)。加密时随机选择整数 \(k\)（需满足 \(1 < k < p-1\) 且与 \(p-1\) 互质），本题假设选 \(k = 3\)。
加密后生成密文对 \((C_1, C_2)\)：

  • \(C_1 = g^k \bmod p = 5^3 \bmod 23 = 125 \bmod 23 = 10\)（因为 \(23 \times 5 = 115, 125-115=10\))。
  • \(C_2 = M \times y^k \bmod p\)。先计算 \(y^k \bmod p = 8^3 \bmod 23\)：
    \(8^2 \bmod 23 = 64 \bmod 23 = 18\)（因为 \(23 \times 2 = 46, 64-46=18\))，
    \(8^3 \bmod 23 = (18 \times 8) \bmod 23 = 144 \bmod 23 = 6\)（因为 \(23 \times 6 = 138, 144-138=6\))。
    再计算 \(C_2 = 10 \times 6 \bmod 23 = 60 \bmod 23 = 14\)（因为 \(23 \times 2 = 46, 60-46=14\))。
    最终密文为 \((C_1, C_2) = (10, 14)\)。

3. 解密过程

使用私钥 \(d\) 解密密文 \((C_1, C_2)\)：

  • 计算共享秘密 \(s = C_1^d \bmod p = 10^6 \bmod 23\)。
    逐步计算：
    \(10^2 \bmod 23 = 100 \bmod 23 = 8\)（因为 \(23 \times 4 = 92, 100-92=8\))，
    \(10^4 \bmod 23 = 8^2 \bmod 23 = 64 \bmod 23 = 18\)，
    \(10^6 \bmod 23 = (10^4 \times 10^2) \bmod 23 = (18 \times 8) \bmod 23 = 144 \bmod 23 = 6\)。
  • 计算 \(s\) 的模逆元 \(s^{-1} \bmod p\)：
    即求 \(6 \times t \bmod 23 = 1\)。通过枚举：
    \(6 \times 4 = 24 \bmod 23 = 1\)，所以 \(s^{-1} = 4\)。
  • 还原明文 \(M = C_2 \times s^{-1} \bmod p = 14 \times 4 \bmod 23 = 56 \bmod 23 = 10\)（因为 \(23 \times 2 = 46, 56-46=10\))。
    解密结果与原始明文一致。

4. 数学原理

  • 安全性基础：
    ElGamal的安全性依赖于离散对数问题（DLP）的困难性：已知 \(g, p, y\)，求私钥 \(d\) 使得 \(y = g^d \bmod p\) 在 \(p\) 很大时计算不可行。
  • 加密设计：
    \(C_1 = g^k\) 传递临时公钥，\(C_2 = M \times y^k\) 通过共享秘密 \(y^k = g^{dk}\) 掩盖明文。解密时计算 \(C_1^d = g^{dk} = y^k\)，从而消除掩盖。
  • 注意点：
    • 每次加密需随机选择 \(k\)，避免重复使用导致密钥泄露。
    • 明文 \(M\) 需映射到有限域中（例如通过编码规则），且 \(M < p\)。

通过以上步骤，ElGamal实现了非对称加密，其密文长度是明文的两倍，但具备良好的安全性。

ElGamal加密算法 题目描述 ： ElGamal是一种基于离散对数难题的非对称加密算法，由Taher Elgamal于1985年提出。它包含密钥生成、加密和解密三个步骤。假设你需要在有限域上实现ElGamal算法，给定素数 \( p = 23 \)、生成元 \( g = 5 \)、私钥 \( d = 6 \)，以及待加密的明文 \( M = 10 \)（需确保 \( M < p \)）。请演示完整的加密和解密过程，并解释其数学原理。 解题过程 ： 1. 密钥生成 选择系统参数 ： 选取大素数 \( p \) 和生成元 \( g \)。生成元需满足：在模 \( p \) 下，\( g \) 的幂运算能生成 \( 1 \) 到 \( p-1 \) 的所有整数。本题已给定 \( p = 23 \)，验证 \( g = 5 \) 是生成元： \( 5^1 \bmod 23 = 5, 5^2 \bmod 23 = 2, ..., 5^{22} \bmod 23 = 1 \)（需覆盖所有余数，此处省略验证过程）。 生成密钥对 ： 私钥 \( d \)：随机整数，满足 \( 1 < d < p-1 \)，本题给定 \( d = 6 \)。 公钥 \( (p, g, y) \)：计算 \( y = g^d \bmod p \)。 \( y = 5^6 \bmod 23 = 15625 \bmod 23 \)。 逐步计算： \( 5^2 \bmod 23 = 25 \bmod 23 = 2 \) \( 5^4 \bmod 23 = (5^2)^2 \bmod 23 = 2^2 \bmod 23 = 4 \) \( 5^6 \bmod 23 = (5^4 \times 5^2) \bmod 23 = (4 \times 2) \bmod 23 = 8 \)。 因此公钥为 \( (p=23, g=5, y=8) \)。 2. 加密过程 加密需要公钥 \( (p, g, y) \) 和明文 \( M \)。加密时随机选择整数 \( k \)（需满足 \( 1 < k < p-1 \) 且与 \( p-1 \) 互质），本题假设选 \( k = 3 \)。 加密后生成密文对 \( (C_ 1, C_ 2) \)： \( C_ 1 = g^k \bmod p = 5^3 \bmod 23 = 125 \bmod 23 = 10 \)（因为 \( 23 \times 5 = 115, 125-115=10 \))。 \( C_ 2 = M \times y^k \bmod p \)。先计算 \( y^k \bmod p = 8^3 \bmod 23 \)： \( 8^2 \bmod 23 = 64 \bmod 23 = 18 \)（因为 \( 23 \times 2 = 46, 64-46=18 \))， \( 8^3 \bmod 23 = (18 \times 8) \bmod 23 = 144 \bmod 23 = 6 \)（因为 \( 23 \times 6 = 138, 144-138=6 \))。 再计算 \( C_ 2 = 10 \times 6 \bmod 23 = 60 \bmod 23 = 14 \)（因为 \( 23 \times 2 = 46, 60-46=14 \))。 最终密文为 \( (C_ 1, C_ 2) = (10, 14) \)。 3. 解密过程 使用私钥 \( d \) 解密密文 \( (C_ 1, C_ 2) \)： 计算共享秘密 \( s = C_ 1^d \bmod p = 10^6 \bmod 23 \)。 逐步计算： \( 10^2 \bmod 23 = 100 \bmod 23 = 8 \)（因为 \( 23 \times 4 = 92, 100-92=8 \))， \( 10^4 \bmod 23 = 8^2 \bmod 23 = 64 \bmod 23 = 18 \)， \( 10^6 \bmod 23 = (10^4 \times 10^2) \bmod 23 = (18 \times 8) \bmod 23 = 144 \bmod 23 = 6 \)。 计算 \( s \) 的模逆元 \( s^{-1} \bmod p \)： 即求 \( 6 \times t \bmod 23 = 1 \)。通过枚举： \( 6 \times 4 = 24 \bmod 23 = 1 \)，所以 \( s^{-1} = 4 \)。 还原明文 \( M = C_ 2 \times s^{-1} \bmod p = 14 \times 4 \bmod 23 = 56 \bmod 23 = 10 \)（因为 \( 23 \times 2 = 46, 56-46=10 \))。 解密结果与原始明文一致。 4. 数学原理 安全性基础 ： ElGamal的安全性依赖于离散对数问题（DLP）的困难性：已知 \( g, p, y \)，求私钥 \( d \) 使得 \( y = g^d \bmod p \) 在 \( p \) 很大时计算不可行。 加密设计 ： \( C_ 1 = g^k \) 传递临时公钥，\( C_ 2 = M \times y^k \) 通过共享秘密 \( y^k = g^{dk} \) 掩盖明文。解密时计算 \( C_ 1^d = g^{dk} = y^k \)，从而消除掩盖。 注意点 ： 每次加密需随机选择 \( k \)，避免重复使用导致密钥泄露。 明文 \( M \) 需映射到有限域中（例如通过编码规则），且 \( M < p \)。 通过以上步骤，ElGamal实现了非对称加密，其密文长度是明文的两倍，但具备良好的安全性。