基于线性规划的图匹配问题求解示例 我将为您讲解如何用线性规划解决图匹配问题。图匹配是组合优化中的重要问题，在任务分配、社交网络分析等领域有广泛应用。 问题描述 考虑一个二分图G=(U,V,E)，其中U={u1,u2,u3}和V={v1,v2,v3}分别是两个顶点集合，E是连接U和V的边集。每条边e∈E有一个权重w_ e，表示匹配的价值。我们的目标是找到一个匹配（即没有两条边共享同一个顶点的边子集），使得总权重最大化。 具体实例： U = {u1, u2, u3}（左侧顶点） V = {v1, v2, v3}（右侧顶点） 边权重：w(u1,v1)=3, w(u1,v2)=2, w(u2,v1)=1, w(u2,v3)=4, w(u3,v2)=2, w(u3,v3)=3 线性规划建模 决策变量：为每条边e引入连续变量x_ e∈[ 0,1 ]，表示该边被选入匹配的程度 目标函数：最大化∑w_ ex_ e，即匹配的总权重 约束条件：每个顶点最多与一条边相连（匹配约束） 对于u1：x(u1,v1) + x(u1,v2) ≤ 1 对于u2：x(u2,v1) + x(u2,v3) ≤ 1 对于u3：x(u3,v2) + x(u3,v3) ≤ 1 对于v1：x(u1,v1) + x(u2,v1) ≤ 1 对于v2：x(u1,v2) + x(u3,v2) ≤ 1 对于v3：x(u2,v3) + x(u3,v3) ≤ 1 非负约束：x_ e ≥ 0 求解过程 建立单纯形表： 目标函数：max 3x11 + 2x12 + 1x21 + 4x23 + 2x32 + 3x33 约束条件： x11 + x12 ≤ 1 x21 + x23 ≤ 1 x32 + x33 ≤ 1 x11 + x21 ≤ 1 x12 + x32 ≤ 1 x23 + x33 ≤ 1 添加松弛变量，转化为标准型： max 3x11 + 2x12 + 1x21 + 4x23 + 2x32 + 3x33 s.t. x11 + x12 + s1 = 1 x21 + x23 + s2 = 1 x32 + x33 + s3 = 1 x11 + x21 + s4 = 1 x12 + x32 + s5 = 1 x23 + x33 + s6 = 1 单纯形法迭代： 初始基：松弛变量s1-s6 第一次迭代：选择检验数最大的x23(系数4)入基，确定s2出基 更新表格后，选择x11(系数3)入基，确定s4出基 继续迭代直到所有检验数非正 最优解分析 最终得到整数最优解： x11=1, x23=1, x32=1，其他变量为0 最优匹配：{(u1,v1), (u2,v3), (u3,v2)} 最大权重：3+4+2=9 理论保证 由于该问题的约束矩阵是全单模矩阵，线性规划松弛必然得到整数解，这保证了我们可以用线性规划精确求解图匹配问题。